实数集完备性的基本定理
简介：
实数集完备性的基本定理共有6个，前面提到过的有：实数集的确界原理，函数的单调有界定理和数列的柯西收敛定理，将要学习的有：区间套定理，聚点定理和有限覆盖定理
它们都是等价的：由任何一个定理都可以推出其他5个定理
区间套和区间套定理
|| 定义一：区间套的定义
设闭区间列 { [an, bn] } ，具有如下性质：
- [an, bn] ⊃ [an+1, bn+1]，n=1，2，…
- limn–>∞（bn - an）= 0
则称 { [an, bn] }这个闭区间列(类比一下数列)，为闭区间套，简称区间套
（注意：区间套也就是前一个区间套后一个区间，端点需要满足a1<a2…< an< bn< bn-1<…<b1 ）
|| 定理1：区间套定理
若闭区间列 { [an, bn] }是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点∮，使得∮∈ [an, bn], n=1,2,…，即 an < ∮ < bn,n=1,2,…
(注意：即在实数系存在唯一一个点，是区间套的每一个区间的元素，包括最小的区间)
|| 证明区间套定理中的唯一存在性时，我们往往使用这种方法，假设另外存在一点∮’，再证明∮ = ∮’（∮ -∮’=0）
|| 区间套定理的推论: 定点的邻域与区间套的关系
若∮ ∈[an,bn]是区间套 { [an,bn] }所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N时有：[an,bn] ⊂ U（∮，ε）
|| 数列的柯西收敛准则的重新证明（使用区间套定理）
首先由区间套定理找出∮和其对应的闭区间[an, bn]，已知[an, bn]包含除有限项外所有项，又根据推论[an, bn] ⊂ U（∮，ε）根据数列收敛的邻域定义，找出来的∮就是数列的极限
聚点和聚点定理
|| 定义二：点集中的聚点的定义
设S为数轴上的点集，∮是一个定点（可以属于S，也可以不属于S）。若∮的任何邻域内都包含有S中 的无数多个点，则称∮是点集S的一个聚点
|| 定义二的等价定义：
对于点集S，若点∮的任何邻域上都含有S中异于∮的点，即U0（∮，ε）∩ S != 空集，则称∮为S的一个聚点
|| 定义二的等价定义：
若存在各项互异的收敛数列{xn}⊂S，则数列的极限limn–>∞xn= ∮称为S的一个聚点
|| 定理2：点集中的聚点定理
实轴上任一有界无限的的点集S，至少有一个聚点
（注意：证明时使用上文的区间套定理）
|| 聚点定理的推论：致密性推论
有界数列必含有收敛子列（聚点等价定义二显而易见可证）
|| 数列的柯西收敛准则的重新证明（使用致密性推论）
开覆盖和有限开覆盖定理
|| 定义三：开覆盖的定义
设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是一个开区间）。若S中所有点都被包含在H中的至少一个开区间上，则称开区间集合H为点集S的一个开覆盖（H覆盖S）。根据H中元素的个数（有限/无限），称H为S的一个有限开覆盖/无限开覆盖
(注意：开覆盖就是能覆盖一个点集的开区间集合）
|| 定理3：有限覆盖定理
设H为闭区间[a, b]的一个开覆盖，则从H中可以选出有限个开区间来覆盖[a, b]
闭区间上连续函数性质的证明
简介：使用上文的实数完备性定理，证明闭区间上连续函数的基本性质
闭区间上连续函数的基本性质的描述：https://blog.csdn.net/a13352912632/article/details/105640073
|| 有界性定理的证明
应用有限覆盖定理或致密性推论可证
|| 最大最小值定理的证明
应用确界原理可证
|| 介值性定理的证明
应用确界定理或者区间套定理可证
|| 一致连续性定理的证明
应用有限覆盖定理或致密性推论可证
上极限和下极限
简介：函数有左右极限，对应数列有上下极限
由于n为自然数集，数列的项在n—>∞时会有多种情况，产生多个极限
|| 定义四：点列中的聚点的定义
若在数a的任一邻域内含有数列{xn}的无限多个项，则称a为数列中的一个聚点
(注意：点集和点列时有区别的，点列是一个个n=1,2,3,4…时特定的点，有无数多个项，而点集有无数多个点)
|| 定理4：点列中的聚点定理
有界数列(点列){xn}至少存在一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点
|| 定义五：数列上极限和下极限的定义
有界数列{xn}最大聚点和最小聚点分别称为{xn}的上极限和下极限，记作：
|| 定理5：上下极限的大小关系
有界数列的上下极限满足大小关系
（二者可能相等)
|| 定理6：上下极限与极限
limn–>∞xn = A 的充要条件是
|| 定理7：上下极限的判定定理
A—是有界数列{xn}的上极限的充要条件是：任给ε>0
- 存在N>0，使得当n>时有xn<A—+ ε
- 存在子列{xnk}，xnk > A—- ε, k=1,2,…
A—是有界数列{xn}的下极限的充要条件是：任给ε>0
- 存在N>0，使得当n>时有xn > A— - ε
- 存在子列{xnk}，xnk < A—+ ε, k=1,2,…
|| 定理7的另一种表达：
|| 定理8：上下极限的判定定理
|| 上下极限的保不等式性
设有界数列{an}，{bn}满足：存在N0>0，当n > N0时有 an < bn，则：
特殊情况：当a，b是两个常数，存在N0>0，当n > N0时有 a < an < b，则：
