函数极限的概念
x趋于∞时的极限
|| 定义一：函数极限的ε - M定义
设f为定义在[a，+∞）上的函数，A为定数，若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时有 |f (x) - A| < ε，则称函数f当x趋于+∞时以A作为极限，记作：
x趋于x0时函数的极限
|| 定义二：x趋于x0时函数极限的ε - ∂定义
设函数f在点x0的某个空心领域U0(x0, ∂)内有定义，A为定数，若对任给的的ε>0, 都存在正数∂，得当0<|x - x0 |<∂时有 |f(x) - A| < ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作：
|| 定义三：x趋于x0时函数单侧极限：
设函数在x0的某个空心邻域U0-(x0, ∂)内有定义，A为定数，若对任给的ε>0, 都存在正数∂，使得x0-∂ < x < x0时有 |f（x）- A| < ε，则称数A为函数f当x趋于x0-时的左极限，记作：
|| 定理1：函数趋于x0的极限为A的充要条件为函数趋于x0的左右极限都为A
函数极限的性质
注意：我们使用函数趋于点x0的极限来研究函数任何类型极限的性质
定理2：唯一性
若函数极限limx->x0f(x)存在，那么此极限是唯一的
定理3：局部有界性
若函数极限limx->x0f(x)存在，则f在x0的某空心邻域中有界
定理4：局部保号性
若函数极限limx->x0f(x) = A>0，则对任何正数r<A，存在U0(x0)，使得对一切x∈U0(x0)有f（x）>r>0
定理5：保不等式性
若limx->x0f(x)与limx->x0g(x)都存在，且在某邻域U0(x0; ∂)，内有f(x) ≤ g(x)，则limx->x0f(x) ≤ limx->x0g(x)
定理6：迫敛性
设limx->x0f(x) = limx->x0g(x) = A，且在某邻域U0(x0; ∂)内有f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)，则limx->x0h(x) = A
定理7：四则运算法则：
若极限limx->x0f(x)与limx->x0g(x)都存在，则函数f ± g，f * g当x–>x0时极限也存在，且有
若limx->x0g(x) != 0，则f/g当x–>x0时极限也存在，且有
函数极限存在的条件
同数列极限存在性的研究一样，我们将利用函数的本身特征（函数值的变化趋势）来判断函数极限的存在性
|| 定理8：海涅Heine定理（归结原则）
设f在U0(x0; ∂)内有定义，limx->x0f(x)存在的充分必要条件是：
对于任何对任何内含于U0(x0; ∂)且以x0为极限的数列{xn}，极限limn->∞f(xn)都存在且相等
（通过数列达到x趋近于x0，且有多个该值的效果，再代入函数f判断这些值有无相同的值，即极限）
|| 海涅定理的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来证明
|| 定理9：对于单侧极限的存在性的海涅定理
设函数f在点x0的某空心邻域U0+(x0; ∂)有定义，limx->x0+f(x) = A 的充要条件是：对任何以x0为极限的且含于U0+(x0; ∂)递减数列{xn}，有limn->∞f(xn) = A
(递减数列保证了所有数列值都是大于x0的)
|| 定理10：
设f 为定义在U0+(x0; ∂)上的单调有界函数，则右极限limx->x0+f(x) 存在
|| 定理11：柯西准则
设函数f在U0(x0; ∂)内有定义，limx->x0f(x)存在的充分必要条件是：
任给的ε>0, 都存在正数∂，使得对任何x1，x2∈U0(x0; ∂)，有 | f（x1） - f（x2）| < ε .
两个重要的极限
无穷小量和无穷大量
无穷小量
|| 定义四：无穷小量的定义（类似于无穷小数列）
某函数f在U0(x0)内有定义，若limx–>x0f（x）= 0，则称f为当x–>x0时的无穷小量
若函数是有界函数时，则称f为当x–>x0的有界量
（注意： 无穷小量就是在x0以0为极限的函数）
|| 推论：
limx–>x0f（x）= A 《==》 函数 f（x） - A 称为当x–>x0时的无穷小量
无穷小量的阶，与阶的比较
（虽然无穷小量都是以0为极限的函数，但是它们趋近于0的速度是不一样的）
|| 定义五：高阶无穷小量与低阶无穷小量的定义
若f，g都是x–>x0的无穷小量，limx–>x0 [f（x）/ g（x）] = 0，则称当x–>x0时，f为g的高阶无穷小量，g为f的低阶无穷小量，记作:
f( x ) = o( g（x) ) ( x–>x0 ) (等号" = "理解为“属于”， o( g（x) )是满足以上条件的函数的集合)
（注意：即越高阶的无穷小量处于0的速度越快）
|| 定义六：同阶无穷小量的定义
f，g都是x–>x0的无穷小量，若存在整数K，L，使得在U0(x0)上有：K ≤ | f（x）/ g（x） | ≤ L
(注意：当商的极限不为0，且不为1时，则称f，g为同阶无穷小量)
|| 定义六的扩展：大O表示
只要满足 | f（x）/ g（x） | ≤ L，就可记作: f(x) = O( g(x) ) ( x–>x0 ) (等号" = "理解为“属于”， o( g（x) )是满足以上条件的函数的集合)
|| 定义七：等价无穷小量
f，g都是x–>x0的无穷小量，若limx–>x0 [f（x）/ g（x）] = 1，则称当x–>x0时，f与g的是x–>x0时的等价无穷小量，记作: f( x ) ~ g ( x ) (x --> x0)
|| 注意事项：
- 无穷小量指的是函数，无穷小数列指的是数列，而无穷大量可以指数列也可以指函数
- 方便记忆：同阶无穷小量是有倍数关系的等价无穷小量
- 并不是所有无穷小量都可以进行阶的比较，需要满足x–>x0时它们的比值极限是有界量的条件
定理12：等价无穷小量在求函数极限问题的应用
设函数f,g,h在U0(x0)上都有定义，且f(x) ~ g(x) (x --> x0)，则：
- 若limx–>x0f(x) h(x) = A， 则limx–>x0g(x) h(x) = A
- 若limx–>x0h(x) / f(x) = B，则limx–>x0h(x) / g(x) = B
无穷大量
|| 定义八：非正常极限∞的定义
设函数f 在U0(x0)上有定义， 若对于任给的G > 0，都存在有∂ > 0， 使得x∈U0(x0，∂)时，有| f(x) | > G ，称啊哈纳树f当x–>x0时有非正常极限∞，记作： lim~x -->x0~f（x）= ∞。
若 f(x) > G 或 f（x）< -G 时，有 极限+∞ 或 极限-∞
|| 定义九： 无穷大量的极限
所有以∞，+∞，-∞为非正常极限的函数（或者数列），都可以称为无穷大量。
（注意：无穷大量指的是有非正常极限的函数或者和数列，不是指很大的数）
|| 无穷大量中的高低阶无穷大量，同阶无穷大量，等价无穷大量的定义同无穷小量类似
|| 定理13：等价无穷大量在求函数极限问题时的运用
若函数f在U0(x0)上有定义且不为0，那么
- 若f在x–>x0时为无穷小量，则 1 / f 在x–>x0时为无穷大量
- 若f在x–>x0时为无穷大量，则 1 / f 在x–>x0时为无穷小量
函数的渐近线
|| 定义九：函数的渐近线的定义
若函数曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，p点与直线L的距离无限接近于0，则称直线L为曲线的渐近线
|| 斜渐近线与垂直渐进线的求法
