连续函数的性质
连续函数的局部性质
局部有界性
定理：若函数f在点连续,则f在上有界
局部保号性
定理：若函数f在点连续,且,则,使得有
注：应用局部保号性时,常取,则时使得有
四则运算
若函数f和g在点连续,则,,也都在点连续
注：对常量函数y=c和函数y=x反复四则运算可推出多项式函数和有理函数在其定义域的每一点都连续,同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续
复合函数
定理：若函数f在点连续,g在点连续,,则复合函数在点连续
证明：
注：
例：在上严格单调且连续,故在上连续,又把看作由复合而成的函数,则又复合函数的连续性,在上连续
注：若,则是其定义区间上的连续函数
例：证明：有理幂函数在其定义区间上连续
证：
闭区间上连续函数的基本性质
最值
定义：设f为定义在数集D上的函数,若使得有,则称f在D上有最大(最小)值,并称为f在D上的最大(最小)值
注：函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界)
有界性定理
引理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有界
证明：
最大、最小值定理
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有最大值与最小值
证明：
根的存在定理
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(),则使得,即方程在(a,b)上有一个根
介值定理
定理：设函数f在闭区间[a,b]上连续,且,若介于f(a)与f(b),则使得
注：若f在[a,b]上连续,又不妨设,则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即
证明：
例：证明：若则使得
证：
例：设f在[a,b]上连续,满足,证明：使得
证：
连续函数性质：
若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M],若f为[a,b]上的增(减)函数且不为常数,则
反函数的连续性
定理：若函数f在[a,b]上严格单调并连续,则反函数在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续
证明：
一致连续性
定义：设f为定义在区间I上的函数,若使时有,则称f在区间I上一致连续
例：证明函数在(0,1)上不一致连续
证：
例：函数f定义在区间I上,证明f在I上一致连续的充要条件为,若,则
证：
$取\delta_n={1\over n},\exists x'_n,x''_n\in I,|x'_n-x''_n|\lt {1\over n},有|f(x'_n)-f(x''_n)|\ge \varepsilon_0
例：证明在区间(0,1)上不一致连续
证：
一致连续与连续
f在区间I上连续：时有
注：的取值依赖于
f的一个局部性质
f在区间I上一致连续
注：只依赖于
f的一个整体性质
一致连续性定理
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一致连续
证明：
例：设区间的右端点为,区间的左端点也为(可分别为有限或无限区间),证明：若f分别在与上一致连续,则f在上也一致连续
证：