导数的概念
导数的定义
定义：设函数在有定义,若极限存在,则称函数f在点处可导,并称该极限位函数f在点处的导数,记作
定义：令,,则
注：
1.导数为函数增量与自变量增量之比的极限,这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(差商),导数为f在处关于x的变化率
2.若增量比的极限不存在,则称f在点处不可导
有限增量公式
设f(x)在可导,则是当时的无穷小量,于是,即,称为f(x)在点的有限增量公式
注：公式对依然成立
定理：若函数f在点可导,则f在点连续
注：可导必连续,连续未必可导
例：证明函数仅在点处可导,其中为Dirichlet函数
证：
单侧导数
定义：设函数在点的某右邻域上有定义,若右极限存在,则称该极限值为f在点的右导数,记作
类似定义左导数
右导数和左导数统称为单侧导数
定理：若函数在点的某邻域上有定义,则存在与都存在且
导函数
定义：若函数在区间I上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称f为I上的可导函数,此时对每个,都有f的一个导数(或单侧导数)与之对应,这样就定义了一个在I上的函数,称为f在I上的导函数,简称导数,记作
即
注：
1.物理学中导数y'也常用牛顿记号
2.有时也写作或
例：证明(sinx)'=cosx
证：
例：证明,特别
证：
导数的几何意义
曲线在点的切线方程
函数f在点的导数是曲线在点处的切线斜率
表示切线与x轴正向的夹角,则
例：求曲线在点处的切线方程与法线方程
解：
注：对曲线,可将它在点处的切线斜率改写成如下形式：
因此为了作过点P的切线,可对x轴上从原点O到点的线段三等分,取靠近的分点Q,则直线PQ即为所求切线
极值
定义：若函数f在上,有,则称函数f在点取得极大(小)值,称点为极大(小)值点
极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点
例：证明：若,则,有
证：
注：若存在且不为零,则不是f(x)的极值点
费马定理
定理：设函数f在上有定义,且在点可导,若点为f的极值点,则
几何意义：若函数在极值点可导,则在该点的切线平行于x轴
称满足方程的点为稳定点
例：对函数,点x=0是稳定点,但不是极值点