用Python学《微积分B》（微分法）

  本节主要介绍多元函数导数（微分）的计算方法，包括：多元复合函数求导法则、多元隐函数求导、多元隐函数组求导三个子话题。

一、多元复合函数链导法

1，一元复合函数“链导法”
  回顾一下，一元复合函数求导的方法 —— “链导法”（chain rule）：

$$y = f(u),\;u=g(x) \; \Rightarrow \; \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$$
  “链导法”这个名字很形象，由外而内逐层求导，像一个链条。事实上，“链导法”不仅适用于一元复合函数，也适用于多元复合函数。
2，一元与多元复合函数“链导法”
  这类复合函数，从外层看是多元（二元）函数，从内层看是一元函数，如下：
$$z = f(u,v), \; u = \varphi (t),\; v = \psi(t) \; \Rightarrow \; \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$
  如上式，它在各个分量上面，也是由外而内逐层求导。不同的是，外层是偏导数（二元函数），内层是导数（一元函数）。
3，多元与多元复合函数“链导法”
  这类复合函数，从外层和内层看都是多元（二元）函数，如下：
$$z = f(u,v), \; u = \varphi (x,y),\; v = \psi(x,y) \\ \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \end{matrix}\right.$$
  如上式，它在各个分量上面，也是由外而内逐层求导。不同的是，它用的偏导数。
注：关于求导法则，还可以参考以下链接
https://www.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/chain-rule-calc/a/chain-rule-overview
https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-rules.html
http://mathinsight.org/chain_rule_multivariable_introduction
http://www.columbia.edu/itc/sipa/math/calc_rules_multivar.html
4，全微分形式不变性
  回顾一下，一元函数微分具有形式不变性，而多元函数全微分同样也具有形式不变性，如下：
$$z = f(u,v) \; \Rightarrow \; \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u + \frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$$
  如果 u、v是 x 、 y 的函数，通过链导法可得
$$u = \varphi (x,y),\; v = \psi(x,y) \; \Rightarrow \; \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$$
  观察上面的两个全微分式，可以发现：自变量替换后，全微分的形式保持不变。
5，应用Python - sympy 求复合函数导数的时候，隐藏了链导过程，举例如下：

from sympy import *
init_printing()
# Example 1
u,v=symbols('u v')
x,y,z=symbols('x y z')
u = x * y
v = x + y
z = E ** u * sin(v)
z

$$e^{x y} \sin{\left (x + y \right )}$$

z.diff(x), z.diff(y)

$$\left ( y e^{x y} \sin{\left (x + y \right )} + e^{x y} \cos{\left (x + y \right )}, \quad x e^{x y} \sin{\left (x + y \right )} + e^{x y} \cos{\left (x + y \right )}\right )$$

# Example 3
u,v=symbols('u v')
x,y,z,t=symbols('x y z t')
u = E ** t
v = cos(t)
z = u * v + sin(t)
z, z.diff(t)

$$\left ( e^{t} \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}, \quad - e^{t} \sin{\left (t \right )} + e^{t} \cos{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}\right )$$

二、多元复合隐函数求导

1，一元隐函数求导
  先回顾一下一元隐函数的求导过程：对于方程 $F(x,y) = 0$ ，它可以确定一个一元函数 $y=y(x)$，故称之为一元隐函数。两边同时对 x 求导，并应用“链导法”，然后整理出 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的表达式，例如：

$$x^2 + y^2 = 9 \\ \rightarrow \; \frac{\mathrm{d} x^2}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} y^2}{\mathrm{d} x} = 0 \rightarrow \; \frac{\mathrm{d} x^2}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} y^2}{\mathrm{d} y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 2x + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -\frac{x}{y}$$
2，一元隐函数偏导法
  对于方程 $F(x,y) = 0$ 还有另一种求导方法
$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -\frac{F_x}{F_y}$$
  即使用偏导数来确定这个隐函数的导函数，注意是负数加倒数关系。
3，多元隐函数求导
  类似一元隐函数求导，不同的是要先对各个分量求偏导数，最后叠加。
$$F(x,y,z) = 0 \\ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} \; , \; \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$
注：关于隐函数微分除了WIKI，还可以参考：Maht is fun - implict differential。

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#sympy.geometry.util.idiff(eq, y, x, n=1)
#Return dy/dx assuming that eq == 0.
x,y,z=symbols('x y z')
expr = x **2 + y ** 2 - 9
idiff(expr, y, x)

$$- \frac{x}{y}$$

x,y,z=symbols('x y z')
expr = x ** 2 + y ** 2 + z ** 2 - 4 * z
idiff(expr, z, x, 2)

$$\frac{1}{\left(z - 2\right)^{2}} \left(- \frac{x^{2}}{z - 2} - z + 2\right)$$


注：上式求隐函数 $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ 的二阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$

三、多元方程组求导

1，方程组

$$\left\{\begin{matrix} F(x,y,u,v) = 0\\ G(x,y,u,v) = 0 \end{matrix}\right.$$
2，雅可比式（Jacobi）
$$J = \frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}$$
3，一般方法
  这里有一个很复杂的公式，我就不列了，只给出一般的步骤：先求方程组两边求导，再解微分方程组。下面举例并用Python演示
已知
$$\left\{\begin{matrix} xu - yv = 0\\ yu + xv = 1 \end{matrix}\right.$$
求
$$\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$$
分析：两个方程只能确定两个隐函数，而未知量有4个，故这两个隐函数都是二元的。

from sympy import *
init_printing()
x,y = symbols('x y')
u = Function('u')(x,y)
v = Function('v')(x,y)
expr1 = x * u - y * v
expr2 = y * u + x * v - 1
expr1, expr2

$$\left ( x u{\left (x,y \right )} - y v{\left (x,y \right )}, \quad x v{\left (x,y \right )} + y u{\left (x,y \right )} - 1\right )$$

expr1.diff(x)

$$x \frac{\partial}{\partial x} u{\left (x,y \right )} - y \frac{\partial}{\partial x} v{\left (x,y \right )} + u{\left (x,y \right )}$$

expr1.diff(y)

$$x \frac{\partial}{\partial y} u{\left (x,y \right )} - y \frac{\partial}{\partial y} v{\left (x,y \right )} - v{\left (x,y \right )}$$

expr2.diff(x)

$$x \frac{\partial}{\partial x} v{\left (x,y \right )} + y \frac{\partial}{\partial x} u{\left (x,y \right )} + v{\left (x,y \right )}$$

expr2.diff(y)

$$x \frac{\partial}{\partial y} v{\left (x,y \right )} + y \frac{\partial}{\partial y} u{\left (x,y \right )} + u{\left (x,y \right )}$$


如上，对两边求导，就得到了4个新的方程，如果把偏导数当作未知量，那么就有6个方程，8个未知量。列出方程组，通过消元法将其中4个未知量用另外两个表示出来即可。