用Python学《微积分B》（空间向量）

  Math is fun对向量（vector）及其运算讲解的非常形象易懂 ，轻松的扫完这篇文章及其相关链接，对于向量也就了然于心啦。

一、向量

1，向量的定义和性质
  1）幅度（模）- magnitutide
  2）方向（方向角）- direction
  3）方向角与方向余弦 - 向量与坐标轴的夹角称为方向角

$$(cos\; \alpha, cos \; \beta, cos \; \gamma) = (\frac{x}{|\overrightarrow{r}|}, \; \frac{y}{|\overrightarrow{r}|}, \;\frac{z}{|\overrightarrow{r}|}) \;= \frac{1}{|\overrightarrow{r}|}(x,y,z)=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}=\overrightarrow{e}$$


2，向量的运算
  1）向量加减 - 平行四边形（几何）和直角坐标分量（代数法）
  2）标量乘向量
注：以上内容参考math is fun - vector即可。
  3）数量积（dot product）
  “math is fun”上对点积的介绍比较形象，特别是对 $\theta$ 角的意义和为什么要乘以 $cos(\theta)$ 讲解的很生动。此外，可以参考better explained - dot product，它对“点乘”的意义进行了广泛的探究。“点乘”超越了简单的数量重复，它包含了方向旋转。
注意：两个向量“点乘”的结果是一个标量，故它又称为“数量积”
  4）向量积（cross product）
  “math is fun”没有提到向量积的模等于“两个向量所在平行四边形”的面积这层几何意义，也没有将“叉积”与行列式联系起来。这一方面可以参考wiki - Cross product和better explained - Cross Product。特别是后者，讲解的很全面，值得一看。
  5）混合积
  向量积表示面积，混合积表示体积。
总结：看完以上资料，对向量就已经有了基本的了解。特别需要注意的是：向量即可从几何图形上来理解，也可以从代数（各分量）角度来理解。此外，从极坐标的角度来看向量的运算，会更简单。
3，Python向量运算

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Adding vectors and Substracting vectors
a = np.array([3, 7, 4])
b = np.array([2, 9, 11])
a + b, a - b

(array([ 5, 16, 15]), array([ 1, -2, -7]))

# Magnitude of a Vector
c = np.array([6, 8])
np.linalg.norm(c)

10.0

#Multipying a Vector by a Scalar
m = np.array([7, 3])
3 * m

array([21, 9])

# Multipying vectors
a = np.array([4, 8, 10])
b = np.array([9, 2, 7])
a * b

array([36, 16, 70])

# dot product and cross product
np.dot(a, b), np.cross(a, b)

(122, array([ 36, 62, -64]))

np.sum(a * b)

122


注：数量积是两个向量相同维度的值相乘，然后累加的结果。故有， $np.sum(a * b) = np.dot(a, b)$

二、曲面及方程

1，曲面方程
  解析几何中，用“二维”的动点来表示“平面”，用“三维”的动点来表示空间曲面，如下：

$$F(x, y, z) = 0$$
  例如，中心在 $(x_0, y_0, z_0)$ ，半径为 R 的球面方程为：
$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$
2，旋转曲面
  以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫“旋转曲面”，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的“母线”和“轴”。可以从平面曲线的方程推导出旋转曲面的方程。例如：母线方程为 $f(y,z)=0$ ， 绕 Z 轴旋转，曲面方程为：
$$f(\pm \sqrt{x^2+y^2}, z) = 0$$
  典型的旋转曲面有：柱面（Cylinderical Sufface）、 二次曲面（quadric surface）等。

三、空间曲线

  空间曲线可以看作两个空间曲面的交线：

$$\left\{\begin{matrix} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{matrix}\right.$$
1，参数方程
$$\left\{\begin{matrix} x=x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{matrix}\right.$$
  例如：螺旋线（Helix）
2，空间曲线在坐标平面上的投影
  从空间曲线的方程组，消去一个元，比如 $z$ ，得
$$\left\{\begin{matrix} H(x,y) = 0 \\ z = 0 \end{matrix}\right.$$
这个方程组的第一式是“投影柱面”。

四、空间解析几何中的平面和直线

  从“三维”的角度来看“二维”物体，会发现“二维”的物体只是一个特例。
1，平面点法式方程

$$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$$
其中， $\overrightarrow{n} = (A, B, C)$ 是法线向量（与平面垂直的单位向量）；$\overrightarrow{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ 是两个向量差。故，点法式方程为：
$$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$
  用向量的“点乘”来表示空间平面，非常简洁形象。
2，平面的一般方程
$$Ax + By + Cz + D = 0$$
3，平面的截距方程
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0$$
4，两个平面的夹角
  两个平面法线向量的夹角（通常指锐角）就是两个平面的夹角。
$$cos \; \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot|\overrightarrow{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$
注：这个公式是从向量的数量积的定义反推出来的。

五、空间直线

  空间直线可以看作两个空间平面的交线

$$\left\{\begin{matrix} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{matrix}\right.$$
1，空间直线的点向式方程
$$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$$
  其中， $\overrightarrow{MM_0}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 与 $\overrightarrow{s} = (m,n,p)$ 平行，这个应用的是向量平行的条件。
  由于两平面的交线与两平面的法线都垂直，故有
$$\overrightarrow{s} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}$$
  此外，令点向式式方程等于参数 t，即可获得空间直线的参数方程。
2，两空间直线的夹角
  空间直线的夹角就是“交线”的夹角，故
$$cos \; \theta = \frac{|\overrightarrow{s_1} \cdot \overrightarrow{s_2}|}{|\overrightarrow{s_1}|\cdot|\overrightarrow{s_2}|} = \frac{|m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_1^2} \sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}}$$
3，直线与平面的夹角
$$sin \; \varphi = |cos(\overrightarrow{s},\overrightarrow{n})| = \frac{|mA + nB + pC|}{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2} \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$