【数学】3b1b微积分的本质——微积分的发明过程

来源：3b1b翻译版

1、导论与目录(1)

我们将通过一个简单的几何问题（求圆的面积），联系到积分，导数和微积分基本定理。我的目标是让你觉得自己也能发明微积分。

• 目录图：
  

• 作者的目标
  我的目标是让你看完后觉得你自己也能发明微积分。
  那些核心概念都会讲到，但主要讲清楚它们实际上从何而来，究竟是什么意思。
  而且会尽可能全面直观可视化。
  听人解释一件事，和真正从头开始实现出来，是很不一样的。
  有一颗很高很高的树，人们叫它高树，在这棵树上挂了很多很多的人。

• 目录和说明
  这个系列会先讲导数(2-6)
  再讲极限(7)
  然后是积分和微积分基本定理(8-9)
  泰勒级数(10)

微积分用来解决什么问题？

• 在现实生活中，你是否遇到过这样的问题：
  一辆小车在行驶，它的瞬时速度是怎么测的？
  人口不断增长，增长速率如何估计？
• 在数学问题中，你是否遇到过这样的问题：
  一次函数斜率很好求，但二次、三次函数呢？
  给一个曲线画出的图形，面积怎么求？
• 求圆的面积，一个三角形
  
• 求汽车的行驶距离，正态分布
  
• 求抛物线下的面基
  
• 面积dA/宽度dx 约等于高度x^2
  
• 微积分基本定理：积分与导数之间的来回转化关系，也就是某个图像下方面积函数的导数能够还原出定义这个图像的函数。它将积分和导数两大概念联系起来。

2、导数的定义与求解

2.1 什么是导数？导数的意义(2)

数学法则只要与现实有关，都是不确定的；若是确定的，都与现实无关。——阿尔伯特·爱因斯坦

• 最佳近似
  导数测量的是某个点的变化率的最佳近似值。

• 瞬时速度是很微小时间内距离的变化 (ds/dt)，真正的 “瞬时速度” 是不存在的。
  dt 非常非常小，无限逼近0；

• 两点连线的斜率→某一个点的斜率。
  左上角长方形里的内容才是导数的完全体。
  

• dt 逼近0时，后面两项就能完全忽略了。
  

• 更一般的：ds/dt (t) = 3(t)^2
  t 逼近0，一切变得简单。
  

• 导数不是用来测量 “瞬时变化” 的，距离-时间函数的导数在 0 秒时等于 0 的真正含义是指在第 0 秒 附近车速的最佳近似 是匀速 0 米每秒。
  但这不表示此时的车就是静止的，只说它此时的运动速度近似于匀速的 0，只是近似。
  瞬时变化率 实际上是 变化率的最佳近似。
  

2.2 用几何来求导（x^n, sin(x) ) (3)

• 求x^n的导数
  df/dx = 2x
  
  
  

• 求根号x的导数

• 求三角函数的导数
  

2.3 链式法则和乘积法则（4）

加法法则

• 两个函数的和的导数就是他们导数的和 g(x) + h(x) = dg/dx + dh/dx
• 推导：f(x) = sin(x) + x2
  当x = 0.5时，f(x) = sin(0.5) + (0.5)2
  x增加dx，f(x) = sin(0.5 + dx) + (0.5+dx)2
• 根据图像：
  df = d(sin(x)) + d(x2) = cos(x)dx + 2xdx
  df/dx = cos(x) + 2x
  

两个函数相乘

• 处理两个东西的乘积，通过面积理解会更好
• 根据图像当x变化时
  f(x) = sin(x)X2为正方形的面积
  df = sin(x)d(x2) + x2dsin(x)
  df /dx= 2sin(x) + cos(x)x2
  左乘右导，右乘左导
  

复合函数

• fx = sin(x2)
• 链式法则
  当x变化dx时， h(x) = x2变化的值为dh，sin(x2)变化的值为d(sin(h))
  d(sin(h)) = cos(h)dh
  d(sin(x2)) = cos(x2)d(x2) = cos(x2)2xdx
  sin(x2)/dx = 2cos(x2)x
  任意两个函数g(x)和h(x) ,函数g(h(x))的导数就是g的导数在h处的值，乘以h的导数。
  

2.4 指数函数求导（5）

• f(x) = 2^t求导
  如果时间t以整数变化，那么后一天的数量就是前一天数量的两倍，这样2t每天的增长率就是它本身，但当我们把t取值缩小时。
  2^t的导数就是
  
  对于2t+dt来说可以拆分成2t * 2dt于是可以将2t的导数变为
  
  可以看到右边的式子，dt和t本身完全剥离开，同时我们可以假定一个最小值dt从而计算出右边的式子的值，当dt的值越来越小时这个式子的值就会不断向一个特定值靠近0.6931472…
  所以对于指数函数，他在一定时间内的变化率是它自身乘以一个常数，比如对于3t的导数，这个常数就是1.09868.
  有没有那个底数能使这个常数为1
  e就可以使这个常数为1，e≈2.71828
  观察et的图像，在此图像上任意一点切线的斜率都等于这一点到横轴的距离。
  运用链式法则考虑其他的指数函数。
  比如e3t的导数
  就是3e3t
  所以对于所有的ect的导数就是cect即是常数乘以函数本身
  因为2可以写作eln(2)
  所以2t = eln(2)t
  即d(2t)/dt = ln(2)eln(2)t
  = 0.69314 * 2t
  所以对于任意的ct的导数都是
  所有变化率和数量本身成正比的函数的图像看起来都像是指数函数。

• 其他讲解
  

2.5 隐函数求导（6）

对于y=ln(x)：

对于函数X^2 + y^2 = 5^2

• 考虑对于圆上任意一点切线的斜率的计算
  这个函数不存在取值的微小变化所造成的函数值得微小变化，也不存在输入一个x对应输出一个y，x和y是同时由一个等式定义，并相互联系的在，这种就是隐函数曲线。
  所以对于函数X^2 + y^2 = 5^2，我们要对函数两端同时求导数2xdx + 2ydy = 0
  这个过程称为隐函数求导，隐微分。

• 相关变化率
  一把五米长梯子斜靠墙上，梯子顶端离地4米那么梯子底端离墙就是3米，当梯子顶端以1m/s的速度下滑时。在开始的一瞬间，梯子底端的速度是？
  可以表示为x(t)^2+y(t)^2 = 5^2，若要求速度首先可以把x(t)单独表示出来即。
  x(t) = (5^2-y(t)^2)^1/2，然后对这个式子求导即可得出底部的速度。。

• 但换个角度理解，等式x(t)^2+y(t)^2 = 5^2是一个关于时间t的函数，这个函数的值并不随这时间改变，可以把等式左边看作关于时间t的函数。
  这时候如果我们对等式左边求导数，也就是说当时间t变化dt时，函数x(t)2+y(t)2变化了多少，但函数x(t)2+y(t)2恒等于52所以这个函数的变化率恒等于0。

• 根据链式法则
  比较梯子和求圆切线问题的关系
  我们可以给X^2 + y^2取个名字S
  如果给函数S求导就是在问当点在平面上移动了dx和dy之后函数s的值变化了多少
  在X方向上变化了2xdx各单位在y上变化了2ydy个单位

• 所以
  dS = 2xdx + 2ydy
  但当每个微小变化都落在圆上的时候，等于时保持s的值不变，那么ds就是0
  即
  2xdx + 2ydy = 0

对于函数sin(x)^3 * y^2 = x

• 想象从曲线上移动一小段距离（dx,dy）
  对表达式的两边求导就可以算出函数在每一边的变化值是多少
  sin(x)2ydy + dxcos(x)y2 = dx
• 如果等式成立那么，移动的(dx.dy)一定落在原来的曲线上
  对于函数ex的导数是它本身，那么他的反函数d(ln(x))/dx的导函数是多少。
  y = ln(x)
  e^y = x
  e^ydy = dx

3、极限的定义与求解（7）

导数的正式定义

• 当x = 2时x变化dx各单位，函数值的变化df，在这两个点之间连线，当x逼近0时，这个直线的斜率df/dx才是函数在这个点的导数。
  

极限(ε,δ)的定义

• 对于下图的函数
  
  当变量h=0时，函数变成0/0函数在这一点上并没有明确的值,但当x取值逼近于0时，函数的值也是逼近于12的，且这个结果和x从哪边逼近并无关系。
• 逼近的意思。
  当函数的取值在0的附近时，函数值也在12的附近，随着x的取值接近于0，函数的取值范围也就越来越缩小到12上。
  但如果对于一个函数，将x的取值范围缩小，函数值不会缩小到特定值上时说明函数在该点的极限不存在。
• 将函数的取值范围在极限点收缩，然后观察函数值是否收缩，以及其收缩后的范围的方法就是极限(ε,δ)的定义
• 对于函数上任意点到极限值的距离，习惯用希腊字母ε来代表这个距离
  总能在极限点的附近，离0点的距离为δ的取值范围内找到一系列的点，使得它的函数值都处在距离为ε的范围之内，这对于任意ε都成立

用导数帮助求解极限

• 洛必达法则，对于那些0型的极限可以对分子分母分别求导，然后带入x的值就是极限值。
  

4、积分和微积分基本定理

4.1 积分（8）

• 在只知道每个时间点t一辆汽车的速度的情况下如何找到一个距离函数t描述你在这个时间内行驶的距离。
  假设速度和时间的函数为t(8-t)那么他的图像就是
  
  要想求速度和距离的关系，其实就是求在一段时间内速度时间函数围成的面积，这就是积分问题。
  首先车速为匀速时，那么车驶过的距离就是速度乘以时间，反应在图像上也就是面积
  因为途中横轴的单位时秒，而纵轴的单位时米每秒，所以这个面积的单位自然是米。
  但速度不恒定，我们可以假定速度是阶梯状变化的。
  将0到8秒的时间轴切成等大的小份
  
  
  
  事实上，有无数个原函数（因为常数的导数为 0，所以可以给原函数增加一个常数项 C），但是积分的下限确定了 C 的值。
  对任意函数求积分的时候，是在把 x 在一定范围内的所有 f(x)*dx 值加起来，然后求 dx 趋近于 0 时，加和趋近的值。
  求积分的第一步是找原函数，使其导数等于积分内的函数。

4.2 面积与斜率的关系（9）

求一个连续变量的平均值

• 对于在0到π之间的函数sin(x)可以画出下图。
  
• 但在0到π区间上有无数个值，无法做到把所有值相加再除以值的数量。
  在这个区间上假设取有限个点
  
• 当总数有限时可以把这些值相加然后除以总数从而得到平均值。
  这可能与sin(x)在0到π区间的积分之间有联系
  

为何积分和求导时互逆的运算

• 过sin(x)原函数cos(x)在x=0和x=π两点上做一条直线。
  

• 这个斜率即代表平均值。
  sin(x)是原函数的导数，给出了-cos(x)在每个点上的斜率,所以sin(x)的平均值就等于原函数在0到π之间所有切线斜率的平均值。
  在某一区间上所有切线的平均斜率就等于起点和终点连线的斜率。
  因为要求函数- cos(x)在某一区间的平均斜率就是求函数sin(x)在这一区间的平均值，根据上面的推导过程，sin(x)的平均值的计算和计算起点和终点间的平均斜率的计算方式相同。
  对于任意函数如图，想要计算他在a到b之间的平均值。
  

高阶导数

• 设函数为f(x)
  那么导数就可以解释为函数在这个点的斜率
  如果图像很陡说明导数的值很大，图像向下说明导数是负数
  二阶导数表示了斜率的变化
  当f(x)向上弯曲说明斜率在增加说明二阶导数是正的

5、泰勒级数（10）

泰勒多项式

• 在某个点附近用多项式函数去近似其他函数
  对于函数cos(x)可以用1-(x^2)/2 来近似，先画出函数图像
  
• 如何用一个多项式来近似cos(x)？
  
  可以得出c1 = 0即常数c1控制着在x等于0时原函数导数的近似程度。
  现在近似函数在x等于0这个点的函数值和斜率都已经固定，接下来我们可以使用弯度来推导。
  在x为0时cosx的斜率为0，函数向下弯曲，说明此时斜率在不断减小，函数的二阶导数为负值，cos(x)的二阶导数为-Cos(x)在x为0时二阶导函数的值为-1
  同样也要保证P(x)的二阶导数的值也为-1
  P(x)的二阶导数为2c2
  所以c2的值为-1/2
  所以cosx在x=0时的近似函数为
  P(x)=1-(1/2)x^2
• 以上考虑的是x在0点时的情况，在x为非零点时，例如a点可以将x替换为(x-a)
  对于任意函数，也可以对他取一阶、二阶、三阶等任意高阶的导数，计算他在x为0时的值，然后在构建多项式时，x的n次方项的系数就是x=0时函数的n阶导数值除以n的阶乘。
  这就是这个任意函数的泰勒多项式
  
• 对于函数e^x可以画出图像
  
  e^x的高阶导数都是它本身，所以他的所有阶的导数在x等于0时的导数都为1
  所以对于他的泰勒多项式的每一项的系数都是1/n!

几何与泰勒多项式

• 考虑一个函数，如何近似这个函数下方的面积
  
• 微积分的基本定理，图像所表示的函数本身就是面积函数的导数。
  当dx逼近0时函数增加的面积可以看作一个长方形，用函数在该点的值乘dx就可以
  担当dx不逼近0时，函数下方变化的面积就需要看作一个长方形加一个三角形。
  设a为取值起点，变化后的x的值为x那么dx= x-a
  
  

泰勒级数

• 将近似函数的多项式累加无限多项
  收敛如果一个级数累加的越多，就越接近一个值的话就可以说这个级数收敛到那个值
  比如指数函数sin cos 函数都可以在x为任意值时收敛
  但有的函数只能在附近的范围内收敛
  比如ln(x)
  
  在x取值在0到二之间时，随着项数的增加，就越接近这个函数的真实结果，但当x取值越过2
  时，级数就不再接近任何值了
  所以在lnx中在x等于1时获得的导数信息并不能拓展到更广的取值范围
  像这种累加多个项，但他的和并不能逼近一个确定值的级数我们称之为发散的
  把用在近似原始函数的那个点的周围能够让多项式的和收敛的最大取值范围，称作这个泰勒级数的收敛半径。

参考：1, 2, 3，4,