微积分的本质（八）：积分与微积分基本定理

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定积分公式：
$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\,$
$其中，\frac{dF}{dx}(x)=f(x)$

假设要求一个连续函数 $f(x)$在某个区间 $[a,b]$内的平均值。

在有限个数量的情况下，我们知道用求和再除以个数的方式求解平均值。
假设分成 $n$个取值点，每个取值点之间的宽度为 $dx$，则取值点的数量 $n$满足：
$n\approx\frac{b-a}{dx}$

令 ${\rm sum} \ f(x)$为所有n个取值点对应的 $f(x)$之和，则平均值为
$\frac{{\rm sum} \ f(x)}{\frac{b-a}{dx}}=\frac{{\rm sum} \ f(x)dx}{b-a}$

相当于对所有 $f(x)dx$求和，再除以整个区间的长度。

$\frac{{\rm sum} \ f(x)dx}{b-a}\leftrightarrow\frac{\int_a^b f(x)dx \,}{b-a}\leftrightarrow\frac{面积}{长度}=平均值（平均高度）$
累加和积分之间的唯一区别在于，积分考虑的是 $dx$趋近于0的情况，将有限个数量的情况推广到连续变量的无限个数量中。恰好对应了取却来越多的取值点，近似出来的平均值就越精确。