微积分

原文

1、极限

    极限分为两部分：数列的极限和函数的极限。

1.1、数列的极限

    定义  如果数列{xn}与常a 有下列关系:对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切xn, 不等式 |xn-a |<e都成立, 则称常数a 是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a , 记为或

    也就是说，

1.2、函数的极限

    设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正数d, 使得当x满足不等式0<|x-x0|<d 时, 对应的函数值f(x)都满足不等式     |f(x)-A|<e , 那么常数A就叫做函数f(x)时的极限, 记为

    即，

2、导数

    1）导数的定义：

            设有定义域和取值都在实数域中的函数 。若 在点 的某个邻域内有定义，则当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 。

    即：

    也可记为：，或。

   2）导数的几何意义：

        若函数在点处可导，则导数是函数在该点切线的斜率。        

3、微分

    设函数 在某区间 内有定义。对于 内一点 ，当 变动到附近的 （ 也在此区间内）时。如果函数的增量 可表示为 （其中 是不依赖于 的常数），而 是比 高阶的无穷小，那么称函数 在点 是可微的，且 称作函数在点 相应于自变量增量 的微分，记作 ，即 ， 是 的线性主部。通常把自变量 的增量 称为自变量的微分，记作 ，即 。 

    实际上，前面讲了导数，而微积分则是在导数 的基础上加个后缀 ，即为： 。

4、积分 

    积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。

不定积分的定义

    一个函数 的不定积分，也称为原函数或反导数，是一个导数等于 的函数 ，即

    不定积分的有换元积分法，分部积分法等求法。

定积分的定义

    直观地说，对于一个给定的正实值函数 ，在一个实数区间 上的定积分：

    定积分与不定积分区别在于不定积分便是不给定区间，也就是说，上式子中，积分符号没有a、b。下面，介绍定积分中值定理。

    如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点, 使下式成立：

    这个公式便叫积分中值公式。

牛顿-莱布尼茨公式

    接下来，咱们讲介绍微积分学中最重要的一个公式：牛顿-莱布尼茨公式。

     如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则

    此公式称为牛顿-莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式。这个公式由此便打通了原函数与定积分之间的联系，它表明：一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a, b]上的增量，如此，便给定积分提供了一个有效而极为简单的计算方法，大大简化了定积分的计算手续。

    下面，举个例子说明如何通过原函数求取定积分。

    如要计算 ，由于 是 的一个原函数，所以 。

5、偏导数

    对于二元函数z = f(x，y) 如果只有自变量x 变化，而自变量y固定 这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z = f(x，y)对于x的偏导数。
    定义  设函数z = f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量 时，相应地函数有增量 ，

    如果极限

    存在，则称此极限为函数z = f(x，y)在点(x0，y0)处对 x 的偏导数，记作：

    例如 。类似的，二元函数对y求偏导，则把x当做常量。

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