LeetCode #面试题17.16 按摩师 动态规划

LeetCode #面试题17.16 按摩师

题目描述

一个有名的按摩师会收到源源不断的预约请求，每个预约都可以选择接或不接。在每次预约服务之间要有休息时间，因此她不能接受相邻的预约。给定一个预约请求序列，替按摩师找到最优的预约集合（总预约时间最长），返回总的分钟数。

示例1：

输入： [1,2,3,1]
输出： 4
解释： 选择 1 号预约和 3 号预约，总时长 = 1 + 3 = 4。

示例2：

输入： [2,7,9,3,1]
输出： 12
解释： 选择 1 号预约、 3 号预约和 5 号预约，总时长 = 2 + 9 + 1 = 12。

示例3：

输入： [2,1,4,5,3,1,1,3]
输出： 12
解释： 选择 1 号预约、 3 号预约、 5 号预约和 8 号预约，总时长 = 2 + 4 + 3 + 3 = 12。

思路

• 这属于一道动态规划的题：由于不可以接收相邻的预约，所以在当前时间 $n$ 预约时间最长，要么是 $n - 1$ 预约时间的最大值，要么就是 $n-2$ 预约时间的最大值加上当前预约时间的值，二者之间取最大值。
• 动态规划方程： $dp[n] = max(dp[n-1], dp[n-2] + n)$
• 当 $n = 0$ 时，没人预约，所以 $dp[0] = 0$
• 当 $n = 1$ 时，只有一个人预约，所以 $dp[1] = nums[0]$

class Solution(object):
    def massage(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if len(nums) == 0:
        	return 0;

        N = len(nums)
        # 要记录 N=0 的情况，共要 N+1 的大小
        dp = [0] * (N+1)
        dp[0] = 0
        dp[1] = nums[0]
        for k in range(2, N+1):
        	dp[k] = max(dp[k-1], dp[k-2] + nums[k-1])

        return dp[N]

• 时间复杂度： $O(n)$
• 空间复杂度： $O(n)$

空间优化

由于计算 $dp[n]$ 的时候只用到了 $dp[n-1]$ 和 $dp[n-2]$ 两个数， $n - 3$ 的结果已经用不到了，所以只需要记录两个数即可

class Solution(object):
    def massage(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if len(nums) == 0:
        	return 0;

        prev = 0
        curr = 0
		
		# 每次循环，计算到目前位置 “预约时间最长”
		for i in nums:
			# 循环开始时，curr 表示 dp[k-1]，prev 表示 dp[k-2]
			# dp[k] = max(dp[k-1], dp[k-2] + i)
			prev, curr = curr, max(curr, prev + i)
			# 循环结束时，curr 表示 dp[k]，prev 表示 dp[k-1]

		return curr

• 时间复杂度： $O(n)$
• 空间复杂度： $O(1)$：由于只需要记录两个值，空间复杂度就降到了 $O(1)$

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