3. 零向量
- 零向量不等于一个带你，因为零向量没有定义某个位置。
- 零向量表示的是 “没有位移”，就像标量零表示的是 “没有数量” 一样
4.负向量
- 几何解释：向量变负，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量
5.向量大小（长度或模）
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公式：
\[||v||=\sqrt{(v_x^2+v_y^2)}(对2D向量v) \]\[||v||=\sqrt{(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}(对3D向量v) \] -
几何解释：对 2D 向量 v ，能构造一个以 \(v\) 为斜边的直角三角形，直角边的长度分别为分量 \(v_x\) ,\(v_y\) 的绝对值，斜边长度即为向量 \(v\) 的大小
6. 标量和向量的乘法
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注意点
- 标量和向量的乘法和除法优先级高于加法和减法，例如，\(3a+b\) 是 \((3a)+b\) ，而不是 \(3(a+b)\)
- 标量不能除以向量，并且向量不能除以另一个向量
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几何解释
- 几何意义上，向量乘以标量 k 的效果是以因子 \(|k|\) 缩放向量的长度
7.标准化向量
- 应用背景：对于许多向量，只关心它的方向而不关心它的大小，例如，“我面向的是什么方向？”，在这样的情况下，使用单位向量将非常方便
- 几何解释
- 2D 环境中，如果以原点为尾画一个单位向量，那么向量的头将接触到圆心在原点的单位圆，在 3D 环境中，单位向量将接触到单位球
8.向量的加法和减法
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注意点
- 向量不能和标量或维数不同的向量相加减
- 和标量加法一样，向量加法满足交换律，但向量减法不满足交换律：永远有 \(a+b=b+a\) ，但 \(a-b=-(b-a)\) ，仅当 \(a=b\) 时，\(a-b=b-a\)
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几何解释
- 向量 a 和 b 相加的几何解释为：平移向量，使向量 a 的头连接向量 b 的尾，接着从 a 的尾向 b 的头画一个向量，即向量加法的 “三角形法则”
- “三角形法则” 可以解释之前提到的：向量能被解释为与轴平行的位移序列。例如，向量 [1,-3,4] 为什么可以被解释为位移序列：向右1个单元，向下3个单元，向前4个单元
\[\left[\begin{array}{c}1 \\-3 \\4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\0 \\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0 \\-3 \\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}0 \\0 \\4\end{array}\right] \]
10.向量点乘
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向量点乘就是对应分量乘积的和，其结果是一个标量
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点乘满足交换律：\(a \cdot b = b \cdot a\)
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几何解释
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点乘等于向量大小与向量夹角的 cos 值的积：\(a \cdot b=||a|| ||b|| cos\theta\)
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两向量的夹角：\(\theta=arccos(\frac{a\cdot b}{||a||||b||})\)
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点乘的结果描述了两个向量的 “相似” 程度，点乘结果越大，两向量越相近
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点乘结果的符号可大致确定 \(\theta\) 的类型
a·b Θ 角度 a 和 b >0 0°≤Θ<90° 方向基本相同 0 Θ≤90° 正交 <0 90°＜Θ≤180° 方向基本相反 
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向量投影
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给定两个向量 \(v\) 和 \(n\)，能将 \(v\) 分解为两个分量：\(v_{\|}\) 和 \(v_{\perp}\) 。它们分别平行于和垂直于 \(n\)，并满足 \(v=v_{\perp}+v_{\|}\)。称平行分量 \(v_{\|}\) 为 \(v\) 在 \(n\) 上的投影
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使用点乘计算投影，几何解释：
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\(\mathbf{v}_{\|}=\mathbf{n} \frac{\left\|\mathbf{v}_{\mathrm{u}}\right\|}{\|\mathbf{n}\|}\)
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\(\begin{aligned} &\cos \theta=\frac{\left\|\mathbf{v}_{\|}\right\|}{\|\mathbf{v}\|}\\ &\cos \theta\|\mathbf{v}\|=\left\|\mathbf{v}_{\mathrm{\|}}\right\| \end{aligned}\)
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所以：
\(\begin{aligned} \mathbf{v}_{\|} &=\mathbf{n} \frac{\|\mathbf{v}\| \cos \theta}{\|\mathbf{n}\|} \\ &=\mathbf{n} \frac{\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{n}\| \cos \theta}{\|\mathbf{n}\|^{2}} \\ &=\mathbf{n} \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|^{2}} \end{aligned}\)
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11.向量叉乘
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叉乘仅可用于 3D 向量，叉乘得到一个向量，并且不满足交换律
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计算公式
\[\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{l} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} y_{1} z_{2}-z_{1} y_{2} \\ z_{1} x_{2}-x_{1} z_{2} \\ x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2} \end{array}\right] \] -
几何解释
- 叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量
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\(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 的方向判断
- \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 垂直于 \(\mathbf{a}\) 、\(\mathbf{b}\) ，但垂直于 \(\mathbf{a}\) 、\(\mathbf{b}\) 有两个方向
- 判断方法：右手螺旋定则：
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叉乘的应用：创建垂直于屏幕、三角形或多边形的向量