一、向量
向量（矢量）：既有大小，又有方向的量，如位移、速度、加速度、力、力矩等。
自由向量：与起点无关的向量，只考虑向量的大小和方向。
零向量：模等于零的向量，起点和终点重合，方向任意。
两向量共线：两向量的终点和公共起点在同一条直线上。
k向量共面：向量的k个终点和公共起点在同一个平面上。
二、向量的线性运算
1、向量的加减法
加法：
a + b = c \boldsymbol a+ \boldsymbol b= \boldsymbol c a+b=c
交换律：
a + b = b + a \boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a a+b=b+a
结合律：
( a + b ) + c = a + ( b + c ) (\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c) (a+b)+c=a+(b+c)
减法：
b − a = b + ( − a ) \boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol b+(-\boldsymbol a) b−a=b+(−a)
2、向量与数的乘法
数乘：
λ a , ∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣ ∣ a ∣ \lambda \boldsymbol a, \quad |\lambda \boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a| λa,∣λa∣=∣λ∣∣a∣
结合律：
λ ( μ a ) = μ ( λ a ) = ( λ μ ) a \lambda (\mu \boldsymbol a) = \mu ( \lambda \boldsymbol a) =(\lambda \mu) \boldsymbol a λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a
分配律：
( λ + μ ) a = λ a + μ a , λ ( a + b ) = λ a + λ b (\lambda + \mu) \boldsymbol a = \lambda \boldsymbol a + \mu \boldsymbol a ,\quad \lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\lambda \boldsymbol a+\lambda \boldsymbol b (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb
与原向量同方向的单位向量：
a ∣ a ∣ = e a \frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|} = \boldsymbol e_a ∣a∣a=ea
设向量 a ≠ 0 \boldsymbol a \neq 0 a=0，则向量 b \boldsymbol b b平行于向量 a \boldsymbol a a的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ \lambda λ，使 b = λ a \boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a b=λa
数轴上点 P P P的坐标为 x x x的充分必要条件是：
O P ⃗ = x i \vec{OP}=x \boldsymbol i OP=xi
三、空间直角坐标系
向量的坐标分解式：
r = O M ⃗ = x i + y j + z k \boldsymbol r =\vec{OM} = x \boldsymbol i + y \boldsymbol j + z \boldsymbol k r=OM=xi+yj+zk
向量的坐标：
r = ( x , y , z ) \boldsymbol r =(x,y,z) r=(x,y,z)
四、利用坐标作向量的线性运算
加法：
a + b = ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) \boldsymbol a+\boldsymbol b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z) a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)
减法：
a − b = ( a x − b x , a y − b y , a z − b z ) \boldsymbol a-\boldsymbol b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z) a−b=(ax−bx,ay−by,az−bz)
数乘：
λ a = ( λ a x , λ a y , λ a z ) \lambda \boldsymbol a=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z) λa=(λax,λay,λaz)
当向量 a ≠ 0 \boldsymbol a \neq \boldsymbol 0 a=0，向量 b ∥ a \boldsymbol b \parallel \boldsymbol a b∥a相当于 b = λ a \boldsymbol b = \lambda \boldsymbol a b=λa：
( b x , b y , b z ) = ( λ a x , λ a y , λ a z ) (b_x,b_y,b_z)=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z) (bx,by,bz)=(λax,λay,λaz)
线段 A B AB AB的中点：
M ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 , z 1 + z 2 2 ) M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}) M(2x1+x2,2y1+y2,2z1+z2)
五、向量的模、方向角、投影
A A A、 B B B两点间的距离：
∣ A B ∣ = ∣ A B ⃗ ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 |AB|=|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} ∣AB∣=∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
方向余弦：
( cos α , cos β , cos γ ) = ( x ∣ r ∣ , y ∣ r ∣ , z ∣ r ∣ ) = 1 ∣ r ∣ ( x , y , z ) = r ∣ r ∣ = e r (\cos \alpha,\cos \beta, \cos \gamma)=(\frac{x}{|\boldsymbol r|},\frac{y}{|\boldsymbol r|},\frac{z}{|\boldsymbol r|}) = \frac{1}{|\boldsymbol r|}(x,y,z)=\frac{\boldsymbol r}{|\boldsymbol r|} = \boldsymbol e_r (cosα,cosβ,cosγ)=(∣r∣x,∣r∣y,∣r∣z)=∣r∣1(x,y,z)=∣r∣r=er
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma =1 cos2α+cos2β+cos2γ=1
投影：
a x = P r j x a , a y = P r j y a , a z = P r j z a a_x=Prj_x \boldsymbol a, \quad a_y=Prj_y \boldsymbol a, \quad a_z=Prj_z \boldsymbol a ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza
投影性质：
P r j u a = ∣ a ∣ c o s φ , P r j u ( a + b ) = P r j u a + P r j u b , P r j u ( λ a ) = λ P r j u a Prj_u \boldsymbol a=|\boldsymbol a|cos \varphi, \quad Prj_u (\boldsymbol a+\boldsymbol b)=Prj_u \boldsymbol a + Prj_u \boldsymbol b, \quad Prj_u (\lambda \boldsymbol a)=\lambda Prj_u \boldsymbol a Prjua=∣a∣cosφ,Prju(a+b)=Prjua+Prjub,Prju(λa)=λPrjua