1.向量
1.1.数量积
a(x1, y1, z1);
b(x2, y2, z2);
ab = |a||b|cos(delAB) = x1x2 + y1y2 + z1z2
1.2.向量积
c = a×b
|c| = |a||b|sin(delAB)，c的方向垂直于a,b决定的平面，c按右手规则从a转向b来确定。
满足的规律：
分配律
(a + b)×c = a×c + b×c。
结合律
(ka) × b = a × (kb) = k(a × b)
2.平面及其方程
空间曲线可看作曲面S1,S2的交线。
2.1.平面方程
对垂直于平面的非零向量，称为平面的法线向量。
已知平面的法线向量，平面上的一点，可以唯一确定一个平面。
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0。 // 平面的点法式方程
Ax + By + Cz + D = 0 // 平面的一般式方程
2.2.平面夹角
两平面的法线向量的夹角称为两平面的夹角。// 取小于或等于90度。
3.空间直线及其方程
两个平面的交线。
已经直线上一点和直线的方向向量，则，直线方程可以确定。
两直线的方向向量的夹角，称两直线的夹角。// 取小于或等于90度。
直线和它在平面上的投影直线的夹角(小于或等于90度)称为直线与平面的夹角。
4.空间曲线在坐标面上的投影
4.1.F(x, y, z) = 0
4.2.G(x, y, z) = 0
联合4.1，4.2消去z，得到
H(x, y) = 0 // 表示母线平行Z轴的空间柱面。
由：
H(x, y) = 0
z = 0
联合得到的曲线，为空间曲线在xOy面上的投影曲线。
5.多元函数微分
5.1.集合
内点：
如存在点P的某个邻域U§，使U§属于E，则，P为E的内点。
外点：
如存在点P的某个邻域U§，使U§∩E = 空集，则，P为E的外点。
边界点：
如点P的任一邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则，P为E的边界点。
开集，点集E的点都是E的内点，称E为开集。
闭集，点集E的边界点，都属于E，称E为闭集。
连通集，点集E内任何两点，都可用折线联结，且折现上点属于E，则，E为连通集。
5.2.多元函数
5.2.1.极限定义
f§ = f(x, y)定义域为D，P0(x0, y0)是D的聚点，如存在常数A，对任意c>0，存在d>0，使P(x, y) 属于 D 和 P0半径为d的空心邻域时，有
|f§ - A| < c
成立，称A为f(x, y)当(x, y)->(x0, y0)时的极限。
记做limf§ = A [P->P0]
5.2.2.连续定义
f§=f(x, y)的定义域为D，P0(x0, y0)为D的聚点 且 P0属于D。
如
limf(x, y) = f(x0, y0) [x->x0, y->y0]
称f(x, y)在点P0(x0, y0)连续。
5.2.3.偏导数定义
5.2.3.1.定理—未证明
如z = f(x, y)的两个二阶混合偏导数∂2z/∂y∂x，∂2z/∂x∂y在区域D内连续，则，在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
5.3.全微分
5.3.1.定义
z = f(x, y)在点(x, y)某邻域内有定义，如函数在点(x, y)的全增量
delz = f(x + delx, y + dely) - f(x, y)
可表示为
delz = Adelx + Bdely + o§ [p = sqrt(delx * delx + dely dely)]
称z = f(x, y)在点(x, y)可微分，Adelx + Bdely称为z = f(x, y)在(x, y)的全微分。
记dz = Adelx + B*dely。
5.3.2.多元复合函数求导法则
5.3.2.1.定理1—可证明
u = a(t), v = b(t)在点t可导，z = f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数，则，复合函数z = f(a(t), b(t))在点t可导，且
dz/dt = ∂z/∂u * ∂u/dt + ∂z/∂v * ∂v/dt
5.3.2.2.定理2—可证明
u = a(x, y)，v = b(x, y)在点(x, y)具有对x和对y的偏导数，z = f(u, v)在对应点(u, v)有连续偏导数，则，复合函数z = f[a(x, y), b(x, y)]在点(x, y)的两个偏导数都存在，且
∂z/∂x = ∂z/∂u * ∂u/∂x + ∂z/∂v * ∂v/∂x
∂z/∂y = ∂z/∂u * ∂u/∂y + ∂z/∂v * ∂v/∂y
5.3.3.多元函数的极值及最大值与最小值
5.3.3.1.定义
z = f(x, y)定义域为D，P0(x0, y0)为D的内点。
存在P0的某个邻域属于D，使对邻域内异于P0的任何点(x, y)，
若有f(x, y) < f(x0, y0)。
称，f(x, y)在(x0, y0)有极大值。(x0, y0)为f(x, y)的极大值点。
若有f(x, y) > f(x0, y0)
称，f(x, y)在(x0, y0)有极小值。(x0, y0)为f(x, y)的极小值点。
5.3.3.2.定理—未证明
z = f(x, y)在(x0, y0)某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，∂f(x0, y0)/∂x = 0, ∂f(x0, y0)/∂y = 0，令
∂2f(x0, y0)/∂x∂x = A，∂2f(x0, y0)/∂x∂y = B, ∂2f(x0, y0)/∂y∂y = C，
则，
AC-B2 > 0， A<0，极大值，A>0，极小值
AC-B2 < 0，无极值
AC-B2 = 0，可能有，可能没有
5.4.多重积分
5.4.1.定义1
f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数，将D分成n个小闭区域deld1, deld2, …, deldn。在每个deldi 上任取一点(xi, yi)。如个小闭区域直径的最大值->0时，和的极限总存在，且与D的分法及点(xi, yi)的取法无关，称此极限为f(x, y)在D上的二重积分，记 ∫ ∫f(x, y)ddeld。
5.4.2.积分区域
分类：
X型
Y型
极坐标型：
5.4.3.定义2
f(x, y, z)是有界闭区域 O上的有界函数，将O任意分成n个小闭区域delv，其中delvi表示第i个小闭区域。在每个delvi上任取(xi, yi, zi)，乘积f(xi, yi, zi)delvi，如各小闭区域直径最大值->0时，和的极限存在，且与O的分发及点(xi, yi, zi)取法无关，称此极限为f(x, y, z)在O上的三重积分。
∫ ∫ ∫f(x, y, z)dv
5.4.3.积分区域
分类：
dxdydz型
柱体型
球面体型
应用
曲面面积
体积
引力…
5.5.曲线积分，曲面积分
5.5.1.定义1
L为xOy面内光滑曲线弧，f(x, y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1, M2, …, Mn-1把L分成n段。第i段长度为dels，(xi, yi)为第i段内任取一点，f(xi, yi)dels，如各弧段长度最大值->0时，和的极限总存在，且与L的分法及点(xi, yi)的取法无关，称此极限为f(x, y)在L上对弧长的曲线积分。
5.5.2.定义2
L为xOy面内从A到B的一条有向光滑曲线弧，P(x, y)，Q(x, y)在L上有界。在L上沿L方向插入点列M1(x1, y1), M2(x2, y2), …, Mn-1(xn-1, yn-1)。delxi = xi - xi-1，delyi = yi - yi-1，点(ai, bi)，各弧段长度最大值->0时，和的极限存在，与L的分法点(ai, bi)的取法无关，称和极限为P(x, y)在L上对坐标x的曲线积分，记∫P(x, y)dx。
对y类似，记∫ Q(x, y)dy。
5.6.公式及应用
定义1：
D内任一闭曲线所围部分属于D，称D为单连通区域。否则，称D为复连通区域。
边界曲线L正向：沿着L某方向行走，D内在他左边，称此方向为正。
定理【格林公式】—可证明
D由分段光滑曲线L围成，P(x, y)，Q(x, y)在D上一阶连续偏导数，有
∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy [D]= ∫Pdx + Qdy [L]，L是D取正向的边界曲线。
定理【高斯公式】
定理【斯托克斯公式】
