高等数学（下）空间解析几何与向量代数

1 向量代数

1.1 向量及其线性运算

1.1.1 方向角与方向余弦

1.1.1.1 定义

非零向量$\vec{a}$与坐标轴的三个夹角$\alpha、\beta、 \gamma$称为向量$\vec{a}$的方向角。

$cos\alpha、cos\beta、 cos\gamma$称为向量$\vec{a}$的方向余弦。

1.1.1.2 计算法

以向量$\vec{a}$的方向余弦为坐标的向量就是与$\vec{a}$同方向的单位向量$\vec{e}$。

故$cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma = 1, \vec{e_a} = (cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)$。

若$\vec{a} = (x, y, z）$，则$cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, cos\beta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, cos\gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

1.2 数量积 向量积 混合积

1.2.1 数量积

1.2.1.1 定义

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos\theta$

在空间直角坐标系下，若$\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

1.2.1.2 用数量积表示向量的模

$$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$$

1.2.1.3 数量积判定两向量是否垂直

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$$

1.2.2 向量积

1.2.2.1 定义

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot sin(\vec{a}, \vec{b})$，方向垂直于$\vec{a}$且垂直于$\vec{b}$，并且$\vec{a}、\vec{b}、\vec{a} \times \vec{b}$可构成右手系。

设$\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$则$\vec{a} \times \vec{b} =$ $\left|\begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{array}\right|$

1.2.3 混合积

1.2.3.1 定义

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$称为$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$的混合积，记为$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$。

设$\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2),\vec{c} = (x_3, y_3, z_3)$

则$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] =$ $\left|\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array}\right|$

1.2.3.2 混合积判定共面

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面 $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$

要证明不重合的四个点A，B，C，D共面（或者三线共面），只需要证明$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$

1.2.3.3 计算四面体体积

用混合积计算以A，B，C，D为顶点的四面体的体积$V：V = \frac{1}{6}[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$

2 解析几何

2.1 曲面及其方程

2.1.1 常见的二次曲面的标准方程

2.1.1.1 球面方程

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ 其中$(x_0, y_0, z_0)$为球心，$R > 0$为球的半径

2.1.1.2 椭球面方程

$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} + \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1 (a>0,b>0,c>0)$ 当 $a = b = c$时，即为球面方程

2.1.1.3 单叶双曲面方程

$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1$ 或
$-\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} + \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1$ 或
$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} + \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1 (a>0,b>0,c>0)$
系数两项为正，一项为负

2.1.1.4 双叶双曲面方程

$\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1$ 或
$-\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} + \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1$ 或
$-\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1 (a>0,b>0,c>0)$
系数两项为负，一项为正

2.2 平面及其方程

2.2.1 平面的方程

2.2.1.1 点法式方程

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$
其中 $P(x_0, y_0, z_0)$ 为平面上给定的已知点， $\vec{n} = (A, B, C)$为平面的法向量

2.2.1.2 一般式方程

2.2.1.3 截距式方程

2.2.2 点到平面的距离

设给定点$P_0(x_0, y_0, z_0)$及平面$\pi:Ax + By + Cz + D = 0$。则$P_0$到$\pi$的距离为

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

2.3 空间直线及其方程

2.3.1 直线方程

2.3.1.1 一般式方程（交面式方程）

$$\left\{ \begin{aligned} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{aligned} \right.$$

2.3.1.2 对称式方程（点向式方程）

$$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{p}$$

其中$P(x_0, y_0, z_0)$为直线上给定的已知点，$\vec{s} = (m, n, p)$为直线的方向向量

2.3.1.3 参数式方程

$$\left\{ \begin{aligned} x & = x_0 + mt \\ y & = y_0 + nt \\ z & = z_0 + pt \end{aligned} \right.$$

其中$P(x_0, y_0, z_0)$为直线上给定的已知点，$\vec{s} = (m, n, p)$为直线的方向向量

2.3.1.3 两点式方程

2.3.2 距离公式

2.3.2.1 点到直线的距离

设给顶点$P_0(x_0, y_0, z_0)$及直线$l：\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{p}$，则$P_0$到直线$l$的距离为

$$d = \frac{|\vec{P_0 P_1} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$$

其中$P_1(x_1, y_1, z_1)$为直线上的某一定点，$\vec{s} = (m, n, p)$为直线的方向向量

2.3.2.2 两条直线间的距离

设直线$l_1$过$P_1$点，方向向量为$\vec{s_1}$，直线$l_2$过$P_2$点，方向向量为$\vec{s_2}$，且$\vec{s_1} \times \vec{s_2} \ne \vec{0}$，则$l_1$与$l_2$间的距离为

$$d = \frac{|\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$$