第八章 向量代数与空间解析几何

本章引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容。——高等数学同济版

习题8-1 向量及其线性运算

  本节主要介绍了向量的基本概念与基本计算。

习题8-2 数量积 向量积 混合积

  本节主要介绍了数量积、向量积和混合积的概念和意义。

习题8-3 平面及其方程

  本节主要介绍了空间平面及面与面之间的关系证明。

习题8-4 空间直线及方程

  本节主要介绍了空间直线及线与线、线与面之间的关系证明。

12.求点 $(-1,2,0)$在平面 $x+2y-z+1=0$上的投影。

解  作过已知点且与已知平面垂直的直线。该直线与平面的交点即为所求。根据题意，过点 $(-1,2,0)$与平面 $x+2y-z+1=0$垂直的直线为
$\cfrac{x+1}{1}=\cfrac{y-2}{2}=\cfrac{z-0}{-1}.$
  将它化为参数方程 $x=-1+t$， $y=2+2t$， $z=-t$，代入平面方程得
$-1+t+2(2+2t)-(-t)+1=0.$
  整理得 $t=-\cfrac{2}{3}$。从而所求点 $(-1,2,0)$在平面 $x+2y-z+1=0$上的投影为 $\left(-\cfrac{5}{3},\cfrac{2}{3},\cfrac{2}{3}\right)$。（这道题主要利用参数方程求解）

13.求点 $P(3,-1,2)$到直线 $\begin{cases}x+y-z+1=0,\\2x-y+z-4=0\end{cases}$的距离。

解  直线的方向向量 $\bm{s}=\begin{vmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\1&1&-1\\2&-1&1\end{vmatrix}=(0,-3,-3)$。
  在直线上取点 $(1,-2,0)$，这样，直线的方程可表示成参数方程的形式
$x=1,\quad y=-2-3t,\quad z=-3t.\tag{1}$
  又，过点 $P(3,-1,2)$，以 $\bm{s}=(0,-3,-3)$为法向量的平面方程为
$-3(y+1)-3(z-2)=0.$
  即
$y+z-1=0.\tag{2}$
  将式（1）代入式（2）得 $t=-\cfrac{1}{2}$，于是直线与平面的交点为 $\left(1,-\cfrac{1}{2},\cfrac{3}{2}\right)$，故所求距离为
$d=\sqrt{(3-1)^2+\left(-1+\cfrac{1}{2}\right)^2+\left(2-\cfrac{3}{2}\right)^2}=\cfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
（这道题主要利用空间距离公式求解）

15.求直线 $\begin{cases}2x-4y+z=0,\\3x-y-2z-9=0\end{cases}$在平面 $4x-y+z=1$上的投影直线方程。

解  作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求。
  设过直线 $\begin{cases}2x-4y+z=0,\\3x-y-2z-9=0\end{cases}$的平面束方程为
$2x-4y+z+\lambda(3x-y-2z-9)=0.$
  经整理得
$(2+3\lambda)x+(-4-\lambda)y+(1-2\lambda)z-9\lambda=0.$
  由
$(2+3\lambda)\cdot4+(-4-\lambda)\cdot(-1)+(1-2\lambda)\cdot1=0.$
  得 $\lambda=-\cfrac{13}{11}$。代入平面束方程，得
$17x+31y-37z-117=0.$
  因此所求投影直线的方程为
$\begin{cases} 17x+31y-37z-117=0,\\ 4x-y+z=1. \end{cases}$
（这道题主要利用了平面束求解）

习题8-5 曲面及其方程

  本节主要介绍空间中常见的曲面。

习题8-6 空间曲线及其方程

  本节主要介绍了空间曲线的一般方程和参数方程。

3.分别求母线平行于 $x$轴及 $y$轴而且通过曲线 $\begin{cases}2x^2+y^2+z^2=16,\\x^2+z^2-y^2=0\end{cases}$的柱面方程。

解  在 $\begin{cases}2x^2+y^2+z^2=16,\\x^2+z^2-y^2=0\end{cases}$中消去 $x$，得
$3y^2-z^2=16.$
  即为母线平行于 $x$轴且通过已知曲线的柱面方程。
  在 $\begin{cases}2x^2+y^2+z^2=16,\\x^2+z^2-y^2=0\end{cases}$中消去 $y$，得
$3x^2+2z^2=16.$
  即为母线平行于 $y$轴且通过已知曲线的柱面方程。（这道题主要利用了柱面方程的特点求解）

总习题八

1.填空：

（2）设数 $\lambda_1$， $\lambda_2$， $\lambda_3$不全为0，使 $\lambda_1\bm{a}+\lambda_2\bm{b}+\lambda_3\bm{c}=\bm{0}$，则三个向量是_______的；

解  由 $[(\lambda_1\bm{a}+\lambda_2\bm{b}+\lambda_3\bm{c})\times\bm{b}]\cdot\bm{c}=0$得 $(\bm{a}\times\bm{b})\cdot\bm{c}=0$，即 $\bm{a},\bm{b},\bm{c}$共面。（这道题利用向量共面的定理求解）

16.求通过 $A(3,0,0)$和 $B(0,0,1)$且与 $xOy$面成 $\cfrac{\pi}{3}$角的平面的方程。

解  设所求平面方程为 $\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}+\cfrac{z}{c}=1$。
  平面过点 $A(3,0,0)$， $B(0,0,1)$，故 $a=3$， $c=1$。这样的平面方程为
$\cfrac{x}{3}+\cfrac{y}{b}+z=1.$
  它与 $xOy$面成 $\cfrac{\pi}{3}$角，故
$\cos\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\left(\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{b},1\right)\cdot(0,0,1)}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{3}\right)^2+\left(\cfrac{1}{b}\right)^2+1^2}\cdot1}$
  即
$\left(\cfrac{1}{3}\right)^2+\left(\cfrac{1}{b}\right)^2+1^2=4,\quad\cfrac{1}{b}=\pm\cfrac{\sqrt{26}}{3}.$
  故所求平面为
$x+\sqrt{26}y+3z=3\quad\text{或}\quad x-\sqrt{26}y+3z=3.$
（这道题主要利用了平面定义公式求解）

17.设一平面垂直于平面 $z=0$，并通过从点 $(1,-1,1)$到直线 $\begin{cases}y-z+1=0,\\x=0\end{cases}$的垂线，求此平面的方程。

解  直线 $\begin{cases}y-z+1=0,\\x=0\end{cases}$的方向向量
$\bm{s}= \begin{vmatrix} \bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ 0&1&-1\\ 1&0&0 \end{vmatrix}=(0,-1,-1).$
  作过点 $(1,-1,1)$且以 $\bm{s}=(0,-1,-1)$为法向量的平面：
$-1\cdot(y+1)-(z-1)=0,\quad\text{即}\quad y+z=0.$
  联立 $\begin{cases}y-z+1=0,\\x=0\\y+z=0\end{cases}$得垂足 $\left(0,-\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right)$。
  所求平面垂直于平面 $z=0$，设平面方程为 $Ax+By+D=0$。平面过点 $(1,-1,1)$及垂足 $\left(0,-\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right)$，故有
$\begin{cases} A-B+D=0,\\ -\cfrac{1}{2}B+D=0. \end{cases}$
  由此解得 $B=2D$， $A=D$。因此，所求平面方程为 $Dx+2Dy+D=0$，即
$x+2y+1=0.$
（这道题主要利用向量求解）

18.求过点 $(-1,0,4)$，且平行于平面 $3x-4y+z-10=0$，又与直线 $\cfrac{x+1}{1}=\cfrac{y-3}{1}=\cfrac{z}{2}$相交的直线的方程。

解  设所求直线方程为
$\cfrac{x+1}{m}=\cfrac{y-0}{n}=\cfrac{z-4}{p}.$
  所求直线平行于平面 $3x-4y+z-10=0$，故有
$3m-4n+p=0.\tag{1}$
  又所求直线与直线 $\cfrac{x+1}{1}=\cfrac{y-3}{1}=\cfrac{z}{2}$相交，故有
$\begin{vmatrix} -1-(-1)&3-0&0-4\\ 1&1&2\\ m&n&p \end{vmatrix}=0.$
  即
$10m-4n-3p=0.\tag{2}$
  联立（1）（2）式可得
$\cfrac{16}{m}=\cfrac{19}{n}=\cfrac{28}{p}.$
  因此所求直线方程为
$\cfrac{x+1}{16}=\cfrac{y}{19}=\cfrac{z-4}{28}.$
（这道题主要利用了两直线相交必共面求解）

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