《线性代数与解析几何》

大连理工大学数学科学学院
代万基 等
高等教育出版社

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第4章 空间的平面与直线

        解析几何学是用代数的方法研究结合问题的科学.

        与平面解析几何类似，空间解析几何通过空间直角坐标系将空间的点与三个有次序的实数一一对应，把空间的图形与代数方程系相对应，从而可以用代数的方法来研究几何问题，当然也可以用几何的方法来研究代数问题.

4.1 向量与空间直角坐标系

4.1.2 向量的线性运算及投影

        设向量 $\vec a$ 和向量 $\vec b$ 的夹角为 $\theta$ 且 $\vec b \neq \vec {0}$，把 $\vec a \cos \theta$ 称为 向量 $\vec a$ 在 $\vec b$ 上的投影，记作 $(\vec a)_{\vec b}$ 或 $Prj_{\vec b} \vec a$ ，即

$(\vec a)_{\vec b} = |\vec a| \cos \theta.$

把 $(\vec a)_{\vec b} \frac {\vec b} {|\vec b|}$叫做向量 $\vec a$在 $\vec b$上的投影向量.

注意：投影是个值，不是向量.

4.1.4 向量的坐标与点的坐标

        把 $\mathbf p$ = $[ p_x, p_y, p_z ]^T$ 叫做 $\vec p$ 的坐标向量，也称为代数向量.把 $\vec p$ 叫做几何向量. $\mathbf p$ 是 $\vec p$ 的代数表示，而 $\vec p$ 是 $\mathbf p$ 的几何表示，在一个给定的坐标系下，二者一一对应. 鉴于此，我们把二者同称为向量.

        空间中全体向量的集合叫做三维几何空间，在 $Oxyz$ 坐标系中，它可以用从原点出发的所有向量的集合来表示。

4.2 数量积、向量积和混合积

运算	定义	意义	坐标表示
数量积 $\odot$	定义 4 - 4 两个向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的数量积（也叫点乘积）是一个数，记作 $\vec a \cdot \vec b$. 规定 $\vec a \cdot \vec b = \vert \vec a \vert \vert \vec b \vert \cos \theta,$ 其中， $\theta$ 为 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角.	$W = \vec F \cdot \vec s$, 这是数量积的物理意义.	$\vec a \cdot \vec b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z ,$ 即两个向量的数量积等于他们的坐标的乘积之和. 显然， $\vec a \cdot \vec b =\mathbf{a^Tb}$, 其中， $\mathbf{a} = [ a_x, a_y, a_z ] ^T, \mathbf{b} = [ b_x, b_y, b_z ] ^T .$
向量积 $\otimes$	定义 4 - 5 两个向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的向量积（也叫叉乘积）是一个向量，记作 $\vec a \times \vec b$. 规定 (1) 它的长度为 $\vert \vec a \times \vec b \vert = \vert \vec a \vert \vert \vec b \vert \sin \theta$ (其中， $\theta$ 为 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角); (2) 它的方向与 $\vec a$ 和 $\vec b$ 都垂直，且按 $\vec a, \vec b, \vec a \times \vec b$的次序符合右手法则.	向量积的几何意义是：当 $\vec a $ 与 $\vec b$ 不平行时， $\vert \vec a \times \vec b \vert$ 表示以 $\vec a$ 与 $\vec b$ 为邻边的平行四边形的面积.	$\vec a \times \vec b = (a_yb_z - a_zb_y) \vec i - (a_xb_z - a_zb_x) \vec j + (a_xb_y-a_yb_x) \vec k = \left \vert \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k \\ & a^T & \\ & b^T & \end{array} \right \vert$
混合积	定义 4 - 6 三个向量 $\vec a, \vec b, \vec c$ 的混合积，记作 $(\vec a, \vec b, \vec c)$, 规定 $(\vec a, \vec b, \vec c) = (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c.$ 其中， $\theta$ 为 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角.	混合积的几何意义如下： 以三个非零向量 $\vec a, \vec b, \vec c$ 为棱作一个平行六面体，其底面积为 $\vert \vec a \times \vec b \vert$ ，高为 $\vert \vec c \vert \vert \cos \theta \vert$ （其中， $\theta$ 为 $\vec c$ 与 $\vec a \times \vec b$ 的夹角）. 于是，该平行六面体的体积为 $V = \vert \vec a \times \vec b \vert \vert \vec c \vert \vert \cos \theta \vert = \vert (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \vert = \vert (\vec a, \vec b, \vec c) \vert$ 由此可见，三个向量的混合积的绝对值表示以这三个向量为棱的平行六面体的体积.	$(\vec a, \vec b, \vec c) = \left \vert \begin{array}{ccc} a_x & b_x & c_x \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z \end{array} \right \vert = \mathbf {\left \vert a, b, c \right \vert}$