原根与离散对数

一、原根

原根的概念

原根是一种数学符号，设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）
定义1 ：(a模n的阶乘)，设 $a$ 和 $n$ 是互素的整数， $a\not=0,n>0$ 。使得 $a^x\equiv1(mod\ n)$ 成立的最小的正整数 $x$ 被称为 $a$ 模 $n$ 的阶，并记作 $ord_na = x$ 。

定义2 ：(原根)，设 $a$ 和 $n$ 是互素的整数， $n>0$ 。如果 $ord_na=\varphi(n)$ ，则称 $a$ 是模 $n$ 的原根，并称 $n$ 有一个原根。

例如，设 $m = 7,\varphi(7)=6$

$1^1\equiv1(mod \ 7),2^3\equiv1(mod \ 7),3^6\equiv1(mod \ 7),4^3\equiv1(mod \ 7),5^6\equiv1(mod \ 7),6^2\equiv1(mod \ 7)$ 。

所以 $3,5$ 是模 $7$ 的两个原根, $2,4,6$ 不是模 $7$ 的原根。

如何判断一个数 $g$ 是不是模 m下的原根呢？

先对 $\varphi(m)$ 质因子分解，即 $\varphi(m)=(p_1^{a1})(p_2^{a2})…..(p_k^{ak})$ 。若恒有 $\displaystyle g^{\frac{\varphi(m)}{p_i}} \not =1(mod\ \ m)$ 成立，那么 $g$ 就是 $m$ 的原根。

在这里插入图片描述
【例题1 】POJ1284 Primitive Roots （积性函数）

题意：
给一个奇素数 $n，(1,n-1)$ 内的数 $i，(i^1,i^2,i^3,...,i^{n-1})$ 分别 $mod\ \ \ n$ ，正好是 $（1，2，3，，，n-1）$ ,可以不按顺序，求满足这个式子的 $i$ 的个数
思路：
本质就是求原根的个数，而求原根数有一个公式原根数=phi(phi(m))

又由于给的数m是奇素数，所以phi[m] = m - 1;

所以答案就是phi[m-1]

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long 
using namespace std;

const int N = 7e4;
int phi[N];
int m;
void get_phi(int n){
	for(int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = i;
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(phi[i] == i){
			for(int j = i; j <= n; j += i){
				phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
			}
		}
	}
}
int main(){
	get_phi(N-1);
	while(scanf("%d",&x\m) != EOF){
		printf("%d\n",phi[m-1]);
	}
	return 0;
}

【例题2】51Nod 1135 原根
题意

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）
给出1个质数P，找出P最小的原根。

思路
求模素数 $p$ 的原根的方法：对 $p-1$ 素因子分解，即 $p-1=(p_1^{a1})(p_2^{a2})…..(p_k^{ak})$ 。若恒有 $g^{\frac{p-1}{p_i}} \not =1(mod\ \ p)$ 成立，那么 $g$ 就是 $p$ 的原根(对于合数而言,只需要把 $p-1$ 换成 $\varphi(p)$ 即可)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 1e5 + 7;
int prime[N],prime_tot = 0,tot = 0,p[N];
bool prime_tag[N];
int n;
//素数筛法
void get_prime() {
	for(int i = 2; i < N; i++) prime_tag[i] = true;
	for(int i = 2; i < N; i++) {
		for(ll j = 1ll * i * i; j < N; j += i) {
			prime_tag[j] = false;
		}
	}
	for(int i = 2; i < N; i++)
		if(prime_tag[i]) prime[prime_tot++] = i;
}
//快速幂
ll qpow(ll a, ll b, ll mod) {
	ll res = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) {
			res = res * a % mod;
		}
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
//分解质因子
void divide(int n) {
	tot = 0;
	for(int i = 0; i < prime_tot; i++) {
		if(n % prime[i] == 0) {
			//printf("%d ",prime[i]);
			p[tot++] = prime[i];
			while(n % prime[i] == 0 && n > 1) {
				n /= prime[i];
			}
		}
		if(n == 1) break;
	}
}
//判断是不是原根
bool check(int x) {
	for(int i = 0; i < tot; i++){
		if(qpow(x,(n-1)/p[i],n) == 1) return false;
	}
	return true;
}
int main() {
	get_prime();
	scanf("%d",&n);
	divide(n - 1);
	for(int i = 2; i < n; i++) {
		if(check(i)) {
			printf("%d\n",i);
			break;
		}
	}
	return 0;
}

二、离散对数

离散对数的概念

如果模 $m$ 有一个原根 $g$ ，则 $g^0,g^1,g^2,...,g^{\varphi(m)-1}$ 组成模 $m$ 的一个简化剩余系（1~m中和m互质的元素集合）。也就是说对于任一个整数 $a,gcd(a,m)=1$ ，都可以唯一地表示为
$a\equiv g^\gamma(mod \ m),0\leq\gamma\leq\varphi(m)-1$

设 $g$ 是模 $m$ 的一个原根，对于任一整数 $a,gcd(a,m) = 1$ ，都有 $a\equiv g^\gamma(mod \ m),0\leq\gamma\leq\varphi(m)-1$ ，我们把 $\gamma$ 称为以 $g$ 为底的 $a$ 对模 $m$ 的离散对数，记为 $ind_ga$ 。离散对数也称为指标。