简介:
原根是数论中一个非常重要的概念,它在密码学中有着很广泛的应用。原根从直观上非常好理解,数 对与 是原根,则 的结果互不相同,其中, 。原根与整数的阶的关系非常密切,下面先从整数的阶讲起。
整数的阶:
根据欧拉定理(这篇博客的最后有讲到),如果 为正整数且 是一个与 互质的整数,那么
1、定义:
设 与 是互质的正整数,使得 成立的最小正整数 称为 模 的阶,记为 。
2、定理(1):
如果 与 是互质的整数且 ,那么正整数 是同余式 的一个解当且仅当 。
由定理(1),我们可以得到一个推论:
推论(1):
如果 与 是互质的整数且 ,那么
3、定理(2):
如果 与 是互质的整数且 ,那么正整数 ,当且仅当 ,其中i, j为非负整数。
原根:
1、定义:
如果
与
是互质的整数且
,那么当
时,称
为模
的原根。
2、性质:
1) 所有的素数都有原根。
2) 不是所有的整数都有原根。
3、定理(3):
如果
与
是互质的整数且
,则如果
是模
的一个原根,那么整数
构成模
的既约剩余系。
既约剩余类,即简化剩余类,是指在每个模
的值与
互质的剩余类中,各取一数组成的集合。
这个定理说明了我们在简介中说道的关于原根的一个基本性质,即
两两互不相同。
4、定理(4):
当正整数
有原根时,有
个原根。
求素数的原根:
因为整数 是原根,即 模 的阶数为 的整数,所以我们可以通过判断小于 的整数中是否存在整数 x 使得 。其实也可以再缩小范围,需要检测的数只是 的质因子即可,这个可以由定理(1)(2)得到。
下面给出求素数原根的算法代码:
long long a[100005], len;
long long q_pow(long long a, long long b, long long c)
{
long long ans=1;
while(b)
{
if(b%2)
ans=(ans*a)%c;
a=(a*a)%c;
b/=2;
}
return ans;
}
// test if g ^ ((p-1)/a) == 1 (mod p)
long long g_test(long long g, long long p)
{
for(int i=0;i<len;i++)
if(q_pow(g, (p-1)/a[i], p)==1)
return 0;
return 1;
}
long long primitive_root(long long p)
{
// get the prime factor of p-1
len=0;
long long tmp=p-1;
for(long long i=2;i<=tmp/i;i++)
{
if(tmp%i==0)
{
a[len++]=i;
while(tmp%i==0)
tmp/=i;
}
}
if(tmp!=1)
a[len++]=tmp;
// find the primitive root
long long g=1;
while(g<p)
{
if(g_test(g,p))
return g;
g++;
}
}