【学习笔记】原根与指标

1. 阶

1.1 定义

• 设正整数 $n>1$， $a$ 是满足 $a\perp n$ （ $a$ 与 $n$ 互质）的整数，则必有一个正整数 $r\in [1,n]$，使得 $a^r\equiv 1(mod~n)$。
• 满足条件的最小的正整数 $r$，称为 $a$ 模 $n$ 的阶，记作 $Ord_n(a)$。
• 注意，若 $(a,n)\neq 1$，则不存在 $a$ 模 $n$ 的阶。

1.2 阶的性质

1. 设 $a\perp n$， $a^N\equiv 1(mod~n) \Leftrightarrow Ord_n(a)|N$。
2. 设 $a\perp n$， $Ord_n(a)|\varphi(n)$。

2. 原根

2.1 定义

• 设正整数 $n>1$， $a$ 是满足 $a\perp n$ 的整数，若 $Ord_n(a)=\varphi(n)$，则称 $a$ 为模 $n$ 的一个原根。

2.2 解性

• 设正整数 $n>1$， $n$ 的原根是一些关于 $n$ 的剩余类（原根可以不止一个）。
• 所以研究原根时，我们只需要研究 $[1,n)$ 范围内的解即可。

2.3 原根的性质

1. 只有 $2,4,p^k,2p^k(p是奇素数)$ 有原根。
2. 一个数 $n$ 若存在原根，则它有 $\varphi(\varphi(n))$ 个原根。
3. 记 $\delta=Ord_n(a)$，则 $a^0,a^1,\dots,a^{\delta-1}$ 模 $n$ 两两不同余，当 $a$ 是 $n$ 的原根时， $a^0,a^1,\dots,a^{\delta-1}$ 构成模 $n$ 的简化剩余系。特别地，当 $n$ 是质数时， $a^0,a^1,\dots,a^{\delta-1}$ 对 $n$ 取模后对应为 $\{1,2,\dots,n-1\}$。

2.4 求一个数原根的方法

• 我们已知一个数 $n$ 存在原根。
• 我们现在要找到 $n$ 最小的原根。
• 假设我们现在枚举到一个 $g$，并且 $(g,n)=1$，要验证 $g$ 是否是 $n$ 的原根。
• 根据 $Ord_n(g)|\varphi(n)$，我们只需要验证对于每个 $d|\varphi(n)(d\neq \varphi(n))$，是否均满足 $g^d\not\equiv 1(mod~n)$。
• 我们设 $\varphi(n)=\prod_{i=1}^cp_i^{k_i}$（ $p_i$ 是质数）。
• 因为若 $g^d\equiv 1(mod~n)$，则 $g^{dk}\equiv 1(mod~n)$，所以我们只需要验证，对于每个 $i$，均满足 $g^{\frac{n}{p_i}}\not\equiv1(mod~n)$ 即可。
• 只需要暴力枚举验证即可。
• 最小原根的范围都很小。

//mod是指需要求mod的最小原根，phi是mod的phi函数值
inline int find_root(const int &mod, const int &phi)
{
	static int p[MaxCnt]; 
	static int cnt; 
	cnt = 0; 
	 
	int x = phi; 
	for (int i = 2; i * i <= phi; ++i)
		if (x % i == 0)
		{
			p[++cnt] = i; 
			while (x % i == 0)
				x /= i; 
		}
	if (x > 1)
		p[++cnt] = x; 
	 
	for (int g = 1; g <= mod; ++g)
	{
		if (std::__gcd(g, mod) > 1) continue; 
		bool flg = true; 
		for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
			if (qpow(g, phi / p[i], mod) == 1)
			{
				flg = false; 
				break; 
			}
		if (flg)
			return g; 
	}
	return -1; 
}

3. 指标

3.1 定义

• 设 $g$ 是 $n$ 的一个原根，整数 $a \perp n$，则在模 $\varphi(n)$ 意义下有唯一的整数 $x$，使得 $g^x\equiv a(mod~n)$，则称 $x$ 为以 $g$ 为底对模 $n$ 的一个指标，记作 $x=ind_ga$。

3.2 指标的性质

1. $a\equiv b~(mod~p)\Leftrightarrow ind_ga\equiv ind_gb~(mod~\varphi(p))$
2. $ind_g(ab)\equiv ind(a)+ind(b)~(mod~\varphi(p))$
3. $ind_g(a^n)\equiv n\times ind(a)~(mod~\varphi(p))$

3.3 求指标的方法

• 求指标的运算也叫做离散对数。
• 求指标即求 $g^x\equiv a(mod~p)$ 的最小自然数解。
• 使用 $BSGS$ 算法即可。

4. N次剩余问题

• 问题：求解 $x^N\equiv a(mod~p)$ 在模 $p$ 意义下的所有解， $p$ 是质数。
• 首先我们知道，当 $a\equiv 0(mod~p)$ 时，方程只有 $x=0$ 一个解。
• 否则 $x\in[1,p)$。
• 我们先找到 $p$ 的最小原根 $g$。
• 因为 $p$ 是质数且 $p\nmid a$，所以每个 $x\in[1,p)$，我们都能找到 $y=ind_gx$ 和 $t=ind_ga$。
• 那么原方程等价于 $yN\equiv t(mod~(p-1))$。
• 那么我们只需要用 $exgcd$ 解这个简单的同余方程即可。
• 当 $(N,p-1)\nmid t$ 时，原方程无解。
• 否则我们求出最小自然数解 $y_0$，然后将在 $[1,p)$ 内的 $y=y_0+k·\frac{p-1}{(N,p-1)}(k\in \mathbb Z)$ 的 $y$ 记录下来。
• 然后所有的 $g^y$ 即为答案。
• 代码：（BZOJ1319）

#include <bits/stdc++.h>

int p, K, a, g, t; 
int anscnt, ans[1000010]; 

inline int qpow(int a, int b, const int &p)
{
	int res = 1; 
	for (; b; b >>= 1, a = 1LL * a * a % p)
		if (b & 1)
			res = 1LL * res * a % p; 
	return res; 
}

inline int find_root(const int &p)
{
	int n = p - 1, x = p - 1; 
	static int div[1000010], cnt; 
	
	cnt = 0; 
	for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
		if (x % i == 0)
		{
			div[++cnt] = i; 
			while (x % i == 0)
				x /= i; 
		}
	if (x > 1)
		div[++cnt] = x; 
	for (int g = 1; g <= p; ++g)
	{
		bool flg = true; 
		for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
			if (qpow(g, (p - 1) / div[i], p) == 1)
			{
				flg = false; 
				break; 
			}
		if (flg)
			return g; 
	}
	return -1; 
}

inline int solve_BSGS(const int &a, const int &b, const int &p)
{
	std::map<int, int> ha; 
	ha.clear(); 
	
	int t = ceil(sqrt(p)), x = 1; 
	for (int i = 1; i <= t; ++i)
	{
		x = 1LL * x * a % p; 
		ha[1LL * x * b % p] = i; 
	}
	int y = x; 
	for (int i = 1; i <= t; ++i)
	{
		if (ha.find(y) != ha.end())
			return i * t - ha[y]; 
		y = 1LL * y * x % p; 
	}
	return -1; 
}

inline int exgcd(const int &a, const int &b, int &x, int &y)
{
	if (!b)
		return x = 1, y = 0, a; 
	int res = exgcd(b, a % b, y, x); 
	y -= a / b * x; 
	return res; 
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &p, &K, &a); 
	if (a == 0)
		return puts("1\n0"), 0; 
	
	g = find_root(p); 
	t = solve_BSGS(g, a, p); 
	
	int x, y; 
	int d = exgcd(p - 1, K, x, y); 
	
	if (t % d)
		return puts("0"), 0; 
	
	int mod = (p - 1) / d; 
	y = (1LL * y * (t / d) % mod + mod) % mod; 
	
	for (; y < p; y += mod)
		ans[++anscnt] = qpow(g, y, p); 
	
	std::sort(ans + 1, ans + anscnt + 1); 
	printf("%d\n", anscnt); 
	for (int i = 1; i <= anscnt; ++i)
		printf("%d\n", ans[i]); 
	
	return 0; 
}