原根

在模p意义下，满足 $\forall_{i\in[1,p-1]} g^i\pmod p$ 任意两两不相同的最小正整数g为p的原根。

对p-1进行质因数分解 $p-1=\prod_{i=1}^r pri_i^{k_i}$ ，那么有

\forall_{p r i_{i}} g^{\frac{p - 1}{p r i_{i}}} \neq 1

$\forall_{pri_i} g^{\frac {p-1} {pri_i}}\not=1$

下面是一个利用上述性质暴力求原根的方法，由于一般我们认为原根较小(详情可以见下附表)，所以就可以暴力枚举咯

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
int cnt,tot,pri[maxn],vis[maxn],stk[maxn];
ll n,tmp;
void init()
{
    for(int i=2;i<100000;i++)
    {
        if(!vis[i]) pri[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&(ll)i*pri[j]<100000;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]) break;
        }
    }
}
ll power(ll x,ll y,ll mod)
{
    ll res=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
      if(y&1)
        res=res*x%mod;
    return res;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    init();
    scanf("%lld",&n);
    tmp=--n;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
      if(tmp%pri[i]==0)
      {
        stk[++tot]=pri[i];
        while(tmp%pri[i]==0) tmp/=pri[i];
      }
    if(tmp^1) stk[++tot]=tmp;
    for(int i=2,f;i<=n;i++)
    {
        f=1;
        for(int j=1;j<=tot&&f;j++)
          if(power(i,n/stk[j],n+1)==1)
            f=0;
        if(f){printf("%d\n",i);return 0;}
    }
    puts("Not found!");
    return 0;
}

离散对数

对于 $g^k≡x(x<p)$ ，我们称x的离散对数(亦称指标)为k，记做I(x)=k
它具有以下两个性质：
$I(ab)≡I(a)+I(b)\pmod {p-1}$
$I(a^b)≡bI(a)\pmod {p-1}$

NTT

中文名叫快速数论变换，其实和FFT的用途是一样的，只不过由于FFT用到是复数，而且double在做了大量的实数运算之后精度损失较大，NTT就可以在模意义下，快速做这样的一个多项式乘法。~~好像NTT常数小一些~~
一般这个模数被认为是 $r*2^k+1$ ，当然也有任意模数下的NTT ~~，但是我不会~~

看一道模板题多项式求逆
我们可以分治递归来做。我们记 $x^n=p$ ， $x^{ceil(n/2)}=p'$ ，记原多项式为A，模n意义下逆元为B，模n’意义下逆元为B’。
$AB≡1\pmod p,AB'≡1\pmod {p'}$
由于p为p’的倍数，那么 $AB≡1\pmod {p'}$
由同余的一些性质我们得到 $B-B'≡0\pmod {p'}$
同时平方再展开 $B^2-2BB'+B'^2≡0\pmod p$
同乘A得 $B-2B'+AB'^2≡0\pmod p$
即 $B≡2B'-AB'^2\pmod p$

当然如果p为奇数，那么2ceil(n/2)就会大于n，此时 $p|p'^2$ ，式子同样成立

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2000010,mod=998244353,G=3;
int n,m,r[maxn],a[maxn],b[maxn],c[maxn];
inline int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int power(int x,int y)
{
    int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
      if(y&1)
        res=(ll)res*x%mod;
    return res;
}
void ntt(int *a,int n,int f)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
      if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int gn=power(G,(mod-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
        {
            int x,y,g=1;
            for(int k=0;k<i;k++,g=(ll)g*gn%mod)
            {
                x=a[j+k],y=(ll)g*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k]=pls(x,y);a[j+k+i]=dec(x,y);
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        int inv=power(n,mod-2);reverse(a+1,a+n);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
    }
}
void work(int deg,int *a,int *b)
{
    if(deg==1){b[0]=power(a[0],mod-2);return ;}
    work((deg+1)>>1,a,b);
    int len=0,fn=1;
    while(fn<(deg<<1)) fn<<=1,len++;
    for(int i=1;i<fn;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
    for(int i=0;i<deg;i++) c[i]=a[i];
    for(int i=deg;i<fn;i++) c[i]=0;
    ntt(c,fn,1);ntt(b,fn,1);
    for(int i=0;i<fn;i++) b[i]=(ll)dec(2,(ll)c[i]*b[i]%mod)*b[i]%mod;
    ntt(b,fn,-1);
    for(int i=deg;i<fn;i++) b[i]=0;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    work(n,a,b);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",b[i]);
    putchar('\n');
    return 0;
}

附表

r⋅2k+1	r	k	g
3	1	1	2
5	1	2	2
17	1	4	3
97	3	5	5
193	3	6	5
257	1	8	3
7681	15	9	17
12289	3	12	11
40961	5	13	3
65537	1	16	3
786433	3	18	10
5767169	11	19	3
7340033	7	20	3
23068673	11	21	3
104857601	25	22	3
167772161	5	25	3
469762049	7	26	3
998244353	119	23	3
1004535809	479	21	3
2013265921	15	27	31
2281701377	17	27	3
3221225473	3	30	5
75161927681	35	31	3
77309411329	9	33	7
206158430209	3	36	22
2061584302081	15	37	7
2748779069441	5	39	3
6597069766657	3	41	5
39582418599937	9	42	5
79164837199873	9	43	5
263882790666241	15	44	7
1231453023109121	35	45	3
1337006139375617	19	46	3
3799912185593857	27	47	5
4222124650659841	15	48	19
7881299347898369	7	50	6
31525197391593473	7	52	3
180143985094819841	5	55	6
1945555039024054273	27	56	5
4179340454199820289	29	57	3

NTT及原根学习笔记

原根

离散对数

NTT

附表

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