最小生成树算法——普里姆算法

普里姆算法

假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通网,T=(U,TE)是Ｇ的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是Ｔ的边集，U和TE的初始值为空。算法过程：

1. 首先从V中任取一个顶点（假定v₁)，将它并入U中，此时U={v₁}
2. 然后只要Ｕ是Ｖ的真子集（即U⊂Ｖ），就从那些一个端点已在Ｔ中，别一个端点仍在Ｔ外的所有边中，找一条最短（即权值最小）边，假定为(v_i,v_j)，其中v_i ∈U,v_j ∈V-U，并把边(v_i,v_j)和顶点v_j分别并入Ｔ的边集TE和顶点集Ｕ，如此进行下去，每次往生成树里并入一个顶点和一条边，直到n-1次后把所有n个顶点都并入到生成树T的顶点集，此时U=V，TE中包含n-1条边，T就是最后得到的最小生成树。

prim算法的步骤：

1.将顶点集合分成两个部分——Ｕ（选中的部分），Ｖ（未选中的部分）

2.每次从两个部分中找出权值最小的边

3.相连的顶点划入Ｕ中

4.重复１，直到顶点全部划入Ｕ中。

为了方便实现算法，附设一个辅助数组minedge[vtxptr]，记录从U到V-U具有最小代价的边（即权值最小的边）。对每个顶点v∈V-U，在辅助数组中存在一个minedge[v]分量。每个分量包括两个域：ver域存储该边附在Ｕ中的顶点，lowcost域则存储该边上的权值。

具体算法如下：

#include <stdio.h>
// 最大顶点数
#define MaxVertexNum 50

typedef char VertexType;
typedef int Adjmatrix;
// 邻接矩阵
typedef struct {
        VertexType vex[MaxVertexNum];// 顶点数组,类型假定为char
        Adjmatrix arcs[MaxVertexNum][MaxVertexNum];// 邻接矩阵,类型假定为int
}MGraph;

typedef int VRType;
typedef struct{
        VertexType ver;
        VRType lowcost;
}MinEdge[MaxVertexNum];
MinEdge minedge;// 从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组

// 返回顶点u在MGraph的vex数组中的下标，以此作为顶点u在辅助数组中的下标
// 若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中的位置；否则返回-1
int vtxNum(MGraph G,int u,int n){
        // u是顶点，n是图Ｇ的顶点总数
        int k;
        for(k = 0;k < MaxVertexNum;k++){
               if(G.vex[k] == u){
                       return k;
               }
        }
        return -1;
}
int min(MGraph G,MinEdge MINI,int n){
        int i=0,j,k,min;
        while(!MINI[i].lowcost){
                i++;
        }
        min = MINI[i].lowcost;// 第一个不为0的值
        k=i;
        for(j = i+1;j < n;j++){
                if(MINI[j].lowcost > 0 && MINI[j].lowcost<min){
                        min = MINI[j].lowcost;
                        k=j;
                }
        }
        return k;// 返回最小值在辅助数组中的序号
}
void prim(MGraph G,VertexType u,int n){
        // G是采用邻接矩阵存储结构表示的图,u是顶点，n是顶点个数,以u作为出发点
        int k,v,j;
        k=vtxNum(G,u,n);// 取顶点u在辅助数组中的下标
        for(v = 0;v<n;v++){// 辅助数组初始化,v是每个顶点,此处是初始顶点u与顶点v的关系
                if(v!=k){
                        minedge[v].ver = u;//顶点域全部赋值为u点
                        minedge[v].lowcost = G.arcs[k][v];//距离域全部赋值为u到其他点的距离
                }
        }
        // 初始化，U={u}
        minedge[k].lowcost = 0;
        for(j = 0;j < n;j++){
                k=min(G,minedge,n);//k为辅助数组中值最小的点对应的序号
                printf("edge:%d-%d",minedge[k].ver,G.vex[k]);// 输出生成树的边
                minedge[k].lowcost = 0;// 第k顶点并入U集合
                for(v=0;v<n;v++){
                        if(G.arcs[k][v] < minedge[v].lowcost){
                                // 新顶点并入Ｕ集合后，重新选择最小边
                                minedge[v].ver=G.vex[k];
                                minedge[v].lowcost=G.arcs[k][v];
                        }
                }
        }
}

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