最小生成树——普里姆算法(Prim算法)

普里姆算法：

普里姆算法在找最小生成树时，将顶点分为两类，一类是在查找的过程中已经包含在树中的（假设为 A 类），剩下的是另一类（假设为 B 类）。

对于给定的连通网，起始状态全部顶点都归为 B 类。在找最小生成树时，选定任意一个顶点作为起始点，并将之从 B 类移至 A 类；然后找出 B 类中到 A 类中的顶点之间权值最小的顶点，将之从 B 类移至 A 类，如此重复，直到 B 类中没有顶点为止。所走过的顶点和边就是该连通图的最小生成树。
关于普里姆算法详细介绍可以看以下视频：
普里姆算法非常详细

算法思路

以下无向图为例：

1. 建立邻接矩阵

首先建立二维邻接矩阵arcs，两点之间如果连通则arcs[i] [j] = 权值，如果不连通则设置为一个很大的值自己设定以下用M表示。建立的邻接矩阵如下：

2.建立辅助数组
建立一个结构体数组，结构体中包含权值最小边的起始点和其对应的最小权值，这个数组在每一次找边的时候都会用到，因此需要设为全局变量。
closedge theclose 具体用法后面介绍

typedef struct {
	VertexType adjvex;//记录权值最小的边的起始点
	VRType lowcost;//记录该边的权值
}closedge[MAX_VERtEX_NUM]

3.开始找边

我们一上图的A为第一个点，开始。
首先将点A到各个点的权值存储在辅助数组theclose中

以上是theclose数组的信息，用数组下标来表示边的另一个点，以第二行为例表示边（0，1）的权值为6，即AB的权值为6。M设置为一个很大的int数表示两点不连通。权值0表示该点已经是生成树上的点了。

根据建立的theclose找到权值最小的点，设其下标为i（以上图为例i = 2，对应权值1，对应点C，0表示已经在树上了不参与最小点比较），然后修改其对应权值为0。此时表示i对应的点也加入到了树中，因此需要更新新加入的点i，到其他点的权值是否更小。只需要将下标i对应的点到各个点的权值Q与theclose中的权值q进行比对，因为0表示已经在树中的点了，所以只需要q>0&&Q<q则可以更新起点下标为i，权值为Q。以上图为例，可以更新到点E和F的信息
更新后的theclose信息如下

循环这个过程，找权值最小的点，更新权值。以上图为例更新后的信息如下

void miniSpanTreePrim(MGraph G, VertexType u){
	//找到该起始点在顶点数组中的位置下标
	int k = LocateVex(G, u);
	//首先将与该起始点相关的所有边的信息：边的起始点和权值，存入辅助数组中相应的位置，
	//例如（1，2）边，adjvex为0，lowcost为6，存入theclose[1]中，辅助数组的下标表示该边的顶点2
	for (int i = 0; i<G.vexnum; i++) {
		if (i != k) {
			theclose[i].adjvex = k;
			theclose[i].lowcost = G.arcs[k][i].adj;//权值 
			//原先两点之间没有联通 用0表示 现在用INFINITY
		}
	}
	//由于起始点已经归为最小生成树，所以辅助数组对应位置的权值为0，这样，遍历时就不会被选中
	theclose[k].lowcost = 0;
	//选择下一个点，并更新辅助数组中的信息
	for (int i = 1; i<G.vexnum; i++) {//i = 1? 这里的i只是表示循环次数 因为已经找到了一个点k所以
		//总次数-1 ，i = 1；             
		//找出权值最小的边所在数组下标
		k = minimun(G, theclose);
		//输出选择的路径
		printf("v%d v%d\n", G.vexs[theclose[k].adjvex], G.vexs[k]);//注意这里的k发生了变化 
		//归入最小生成树的顶点的辅助数组中的权值设为0
		theclose[k].lowcost = 0;
		//信息辅助数组中存储的信息，由于此时树中新加入了一个顶点，需要判断，由此顶点出发，
		//到达其它各顶点的权值是否比之前记录的权值还要小，如果还小，则更新
		//两点 1.如新的点与之前的点都能到达同一点的 更新最小权值
		//2.加入新连接的点能到达的点的信息
		for (int j = 0; j<G.vexnum; j++) {
			if (G.arcs[k][j].adj<theclose[j].lowcost) {
				//这里的0表示已经找过的点 ，INFINITY表示不同的点
				theclose[j].adjvex = k;
				theclose[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;
			}
		}
	}
	printf("\n");
}

依次以上循环直到找到所有的点，因为每次更新theclose信息的时候都会遍历其到各点的权值，所以时间复杂度为n^2，普利姆算法适合密图。