背包问题 ---- 0/1 背包

1. 0/1背包介绍

有 n 个物品和一个容量为 m 的背包，第i件物品最多有 1 件，价值为 value[i], 重量为 weight[i]，目标：使物品的价值最大，且重量总和不超过背包最大限制。

首先，介绍一下多重背包和完全背包的区别：

• 多重背包：每个物品限制个数。
• 完全背包：个数不受限制（喜欢多少拿多少），但是不能超过背包上限！

0/1背包是一种多重背包问题

假设：有三种物品：pineapple, apple，pen

item	number	value	weight
pineapple	1	6	10
apple	1	7	5
pen	1	8	1

2. 解法

1) 递归

解决动态规划，一般可以从递归得到，这里先给出递归的代码：

public int dp(int i, int rest){
    // base case
    if (rest == 0 || i == 0){
        return 0;
    }
    if (weight[i] > rest){
        // i's weight larger than bag's rest weight, then not get item
        return dp(i-1, rest - weight[i]);
    }else
        // left is “not get item”, right is "get item"
        return Math.max(dp(i-1, rest),dp(i-1, rest -weight[i])+value[i]);
}

注意：weight 和 value 数组的下标均从 1 开始

观察上述递归方程，可以发现：

• dp[i-1][rest]：不取第i个物品

• dp[i-1][rest-weight[i]] + value[i]: 取第i个物品

• 可以发现状态转换方程可以这样写：
  $dp[i][rest] = Math.max(dp[i-1][rest],\quad dp[i-1][rest-weight[i]] + value[i])$

2) 二维数组的动规

​ dp[i][v]表示前 i 个物品的最大价值

​ 转换方程见 公式（1）

public int process2(){
    int dp[][] = new int[n+1][m+1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (weight[i] > j){
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }else{
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}

3) 优化上述动规过程，转换为一维数组

由公式（1）可以看出，i 状态的数组可以由上一个 i-1状态的数组得到。所以我们可以将 i-1 -> i的转换用迭代的思想实现，从而只要保留 一维数组即可完成要求。

转换方程如下：
$dp[w] = max(dp[w], dp[w-weight[i]] + value[i]) \\ \qquad\qquad i \in [1,n], w \in [0,m]$
废话不多说，先上代码

public int process3(){
    int dp[] = new int[m+1];
    for (int i = 1; i<=n;i++){
        for (int w = m; w>=0; w--){
            if (w<weight[i]){
                dp[w] = dp[w];
            }else{
                dp[w] = Math.max(dp[w],dp[w-weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }
    return dp[m];
}

看到代码可能会说，为什么内循环要从后往前？

先看一下如上的图片：

• 可以看出 dp[w]和 dp[w-weight[i]]是由 i-1状态给出。
• 公式左边的dp[w] 为 i 状态。

如果从前往后，则会造成 公式中表示的i 与 i-1 状态的混乱。

从而内循环需要从后往前，保证状态的一致性！

3. 测试用例

Input：

// 商品个数
int n = 5;
// 背包大小
int m = 8;
// weight and value
int []weight = new int[]{0,3,5,1,2,2};
int []value = new int[]{0,4,5,2,1,3};

Output：

10