Case 1. 定义
韦达定理即：
在方程：
\[ax^2 + bx + c = 0 (a,b,c \in R , a \not = 0) \]
中，两根 \(x_1 , x_2\) 存在关系：
\[x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} , x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]
Case 2. 求根公式的证明
首先我们要求出 \(x_1\) 和 \(x_2\). 这也是 求根公式 的证明过程。
\[ax^2 + bx + c = 0 \]
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\[4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \]
\[(2ax + b)^2 - b^2 = -4ac \]
\[(2ax+b)^2 = b^2-4ac \]
\[2ax+b = \pm \sqrt{b^2-4ac} \]
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} , x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
至此， 求根公式 得证。
Case 3 韦达定理的证明
我们将 \(x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}\) 作为 韦达定理 \(1\)，\(x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}\) 作为 韦达定理 \(2\)，分别证明。
Case 3.1 韦达定理 \(1\) 的证明
\[x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \]
证：
\[\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
\[= \frac{-2b}{2a} \]
\[= - \frac{b}{a} \]
得证。
Case 3.2 韦达定理 \(2\) 的证明
\[x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]
证：
\[\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
\[= \frac{(-b + \sqrt{b^2-4ac} \times (-b - \sqrt{b^2-4ac})}{4a^2} \]
\[= \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} \]
\[= \frac{4ac}{4a^2} \]
\[= \frac{c}{a} \]
得证。
Case 4. 韦达定理的应用
其逆定理为：
若 \(\alpha + β = - \frac{b}{a} , \alpha \times β = \frac{c}{a}\)，则它们都是
\[a^2 + bx + c = 0 (a,b,c \in R , a \not = 0) \]
的解。
由此可以 构造一元二次方程，有较大应用。尤其在 平面几何，解析几何，方程论 中更具应用。
Case 5. 推广韦达定理
即若有一元 \(n\) 次方程组：
\[\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 (n \geq 2 , a_i \in R , a_n \not = 0) \]
则其解 \(x_0 , x_1 \cdots x_n\) 满足：
\[\sum_{i=0}^n x_i = - \frac{a_{n-1}}{a_n} \]
\[\prod_{i=0}^n x_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \]
有类似证明，读者可自证。