LeetCode 50 & 剑指 Offer 16

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• LeetCode 系列笔记来源于 LeetCode 题库¹，在个人思考的基础之上博采众长，受益匪浅；故今记此文，感怀于心，更多题解及程序，参见 Github²；
• 该系列笔记不以盈利为目的，仅用于个人学习、课后复习及交流讨论；
• 如有侵权，请与本人联系（[email protected]），经核实后即刻删除；
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1. LeetCode 50

1.1 复杂度分析

• 题意解析：
  • 考察内容：
    • 快速幂算法；
    • 递归、迭代；
    • 考虑输入参数不同的情况下程序的鲁棒性；
  • 与实现库函数pow(x,n)问题相同的问题，还有剑指 Offer 16；
• 暴力求解：
  • 时间复杂度： $O(n)$；
  • 空间复杂度： $O(1)$；
• 递归：
  • 时间复杂度： $O(log(n))$；
  • 空间复杂度： $O(log(n))$；
• 迭代：
  • 时间复杂度： $O(log(n))$；
  • 空间复杂度： $O(1)$；

1.2 递归

• 解题思路：
  • 考虑输入值所有可能的组合如下表所示；
  • 若 $x=0,n<0$，则为不合理输入，可抛出异常；
  • 若 $n=0$，则返回1；
  • 若 $x\neq0,n<0$，则令 $x=\frac{1}{x},n=-n$，则可将负次幂转换为正次幂处理；
  • 若 $n\geqslant 0$，则递归调用快速幂方法即可；

x	n	备注
+	+
0	+
-	+
+	0	1
0	0	1
-	0	1
+	-	负次幂转换为正次幂处理
0	-	不合理输入
-	-	负次幂转换为正次幂处理

• 递归表达式：
  • 若 n 为偶数，则 $x^n=x^{\frac{n}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}}$；
  • 若 n 为奇数，则 $x^n=x^{\frac{n}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}} \cdot x$；
• 难点：int 取反时溢出；
  • int 的表示范围为 $[-2^{31}.2^{31}-1]$；
  • $-2^{31}$的二进制表示为10000000_00000000_00000000_00000000；
  • 若直接将 Integer.MIN_VALUE 取反，则所得结果为0；
  • 若对 Integer.MIN_VALUE 使用public static int abs(int a)，该方法将返回 Integer.MIN_VALUE；
  • 因此需要定义一个 long 类型的变量，即可实现32位整数的取反操作；

// Approach 1: Recursion
class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if (n < 0 && Double.toString(x).equals(Double.toString(0)))
            throw new RuntimeException("The exponent of zero cannot be negative.");
        long N = n;
        if (N < 0){
            x = 1 / x;
            N = -N;
        }
        return fastPow(x, N);
    }

    public double fastPow(double x, long N) {
        if (N == 0)
            return 1;
        double ans = fastPow(x, N >>> 1);
        ans *= ans;
        if ((N & 1) == 1)
            ans *= x;
        return ans;
    }
}

1.3 迭代

• 迭代与递归的不同之处：使用快速幂算法取代了递归过程；
• 快速幂算法：E.g. 求解 $x^{11}$；
  • $11=0B1011=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1 + 1\times 2^0$；
  • 由题意可知，幂次为 n，且通过转换可使得幂次为非负数；
  • 定义一个变量 product，在循环过程中依次计算 x 的偶次幂值；
  • 定义一个变量 $ans=1$，从右向左检测 n 二进制表示形式中的每一位；
    • 若该 $bit=1$，则令 $ans=ans*product$；
    • 若该 $bit=0$，则不改变 ans 的值；
  • 优点：时间开销小于循环累乘；
    • 循环累乘的时间复杂度： $O(n)$；
    • 快速幂算法的时间复杂度： $O(log(n))$；

// Approach 2: Iteration
class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if (n < 0 && Double.toString(x).equals(Double.toString(0)))
            throw new RuntimeException("The exponent of zero cannot be negative.");
        long N = n;
        if (N < 0){
            x = 1 / x;
            N = -N;
        }
        double ans = 1;
        double product = x;
        while (N > 0) {
            if ((N & 1) == 1)
                ans *= product;
            product *= product;
            N = N >>> 1;
        }
        return ans;
    }
}

2. 剑指 Offer 16

• 求解思路与 LeetCode 50 相同；

3. Summary

3.1 数学

• 底数为0：
  • $0^0=1$；
  • 0的负数次幂无意义；

3.2 Java 语法

• 判断小数相等的方法：

  • 由于精度问题，不能使用==判断小数是否相等；
  • Approach 1：判断两数之差是否小于一个较小值；
  • Approach 2：调用public static String toString(double d)方法，将浮点数转换为 Double 对象后，使用equals()方法比较；

• 位运算：

  • 位运算的效率高于乘除运算：E.g. 使用右移运算取代除以2；
  • 位运算的效率高于取余运算：E.g. 如需对2取余，则将待处理的数值value执行按位与，value&1；

• int 取反时溢出：

  • int 的表示范围为 $[-2^{31}.2^{31}-1]$；
  • $-2^{31}$的二进制表示为10000000_00000000_00000000_00000000；
  • 若直接将 Integer.MIN_VALUE 取反，则所得结果为0；
  • 若对 Integer.MIN_VALUE 使用public static int abs(int a)，该方法将返回 Integer.MIN_VALUE；
  • 因此需要定义一个 long 类型的变量，即可实现32位整数的取反操作；

• Java 中不同进制数值的书写方法：

  • 二进制：0b1011，以0b开头，字母b不区分大小写；
  • 八进制：013，以数字0开头；
  • 十六进制：0xB，以0x开头，字母x和表示数值10-15的字母均不区分大小写；

References

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1. https://leetcode-cn.com/u/hqpan/. ↩︎

2. https://github.com/hqpan/LeetCode. ↩︎