条件随机场
马尔可夫过程
定义
假设一个随机过程中, 时刻的状态 的条件发布,只与其前一状态 相关,即:
则将其称为 马尔可夫过程。
隐马尔科夫算法
定义
隐马尔科夫算法是对含有未知参数(隐状态)的马尔可夫链进行建模的生成模型,如下图所示:
在隐马尔科夫模型中,包含隐状态 和 观察状态,隐状态 对于观察者而言是不可见的,而观察状态 对于观察者而言是可见的。隐状态间存在转移概率,隐状态 到对应的观察状态 间存在输出概率。
假设
- 假设隐状态 的状态满足马尔可夫过程,i时刻的状态 的条件分布,仅与其前一个状态 相关,即:
- 假设观测序列中各个状态仅取决于它所对应的隐状态,即:
存在问题
在序列标注问题中,隐状态(标注)不仅和单个观测状态相关,还和观察序列的长度、上下文等信息相关。例如词性标注问题中,一个词被标注为动词还是名词,不仅与它本身以及它前一个词的标注有关,还依赖于上下文中的其他词。
条件随机场 (以线性链条件随机场为例)
定义
给定 , 均为线性链表示的随机变量序列,若在给随机变量序列 X 的条件下,随机变量序列 Y 的条件概率分布 构成条件随机场,即满足马尔可夫性:
则称为 P(Y|X) 为线性链条件随机场。
通过去除了隐马尔科夫算法中的观测状态相互独立假设,使算法在计算当前隐状态 时,会考虑整个观测序列,从而获得更高的表达能力,并进行全局归一化解决标注偏置问题。
参数化形式
其中:
为归一化因子,是在全局范围进行归一化,枚举了整个隐状态序列 的全部可能,从而解决了局部归一化带来的标注偏置问题。
为定义在边上的特征函数,转移特征,依赖于前一个和当前位置
为定义在节点上的特征函数,状态特征,依赖于当前位置。
特征函数 , 取值为1或0:当满足特征条件的时取值为1
简化形式
因为条件随机场中同一特征在各个位置都有定义,所以可以对同一个特征在各个位置求和,将局部特征函数转化为一个全局特征函数,这样就可以将条件随机场写成权值向量和特征向量的内积形式,即条件随机场的简化形式。
step 1
将转移特征和状态特征及其权值用统一的符号表示,设有k1个转移特征, 个状态特征, ,记
step 2
对转移与状态特征在各个位置i求和,记作
step 3
将 和 用统一的权重表示,记作
step 4
转化后的条件随机场可表示为:
step 5
若 表示权重向量:
以 表示特征向量,即
则,条件随机场写成内积形式为:
矩阵形式
推导 begin
推导 end
基本问题
条件随机场包含概率计算问题、学习问题和预测问题三个问题。
- 概率计算问题:已知模型的所有参数,计算观测序列 出现的概率,常用方法:前向和后向算法;
- 学习问题:已知观测序列 ,求解使得该观测序列概率最大的模型参数,包括隐状态序列、隐状态间的转移概率分布和从隐状态到观测状态的概率分布,常用方法:Baum-Wehch 算法;
- 预测问题:一直模型所有参数和观测序列 ,计算最可能的隐状态序列 ,常用算法:维特比算法。
概率计算问题
给定条件随机场 ,输入序列 和 输出序列 ;
计算条件概率
计算相应的数学期望问题;
前向-后向算法
step 1 前向计算
对观测序列 的每个位置 ,定义一个 阶矩阵( 为标记 取值的个数)
对每个指标 ,定义前向向量 ,则递推公式:
其中,
step 2 后向计算
对每个指标 ,定义前向向量 ,则递推公式:
step 3
step 4 概率计算
所以,标注序列在位置 是标注 的条件概率为:
其中,
step 5 期望值计算
通过利用前向-后向向量,计算特征函数关于联合概率分布 和 条件概率分布 的数学期望,即特征函数 关于条件概率分布 的数学期望:
其中:
学习问题
这里主要介绍一下 BFGS 算法的思路。
输入:特征函数 :经验分布 ;
输出:最优参数值 ,最优模型 。
- 选定初始点 w^{(0)}, 取 为正定对称矩阵,k = 0;
- 计算 ,若 ,则停止计算,否则转 (3) ;
- 利用 计算 ;
- 一维搜索:求 使得
-
设
-
计算 = g(w^{(k+1)}),
若 , 则停止计算;否则,利用下面公式计算 :
-
令 ,转步骤(3);
预测问题
对于预测问题,常用的方法是维特比算法,其思路如下:
输入:模型特征向量 和权重向量 ,输入序列(观测序列) ;
输出:条件概率最大的输出序列(标记序列) ,也就是最优路径;
- 初始化
- 递推,对
- 终止
- 返回路径
求得最优路径
例子说明
利用维特比算法计算给定输入序列 对应的最优输出序列 :
- 初始化
- 递推,对
- 终止
- 返回路径
求得最优路径
import numpy as np
class CRF(object):
'''实现条件随机场预测问题的维特比算法
'''
def __init__(self, V, VW, E, EW):
'''
:param V:是定义在节点上的特征函数,称为状态特征
:param VW:是V对应的权值
:param E:是定义在边上的特征函数,称为转移特征
:param EW:是E对应的权值
'''
self.V = V #点分布表
self.VW = VW #点权值表
self.E = E #边分布表
self.EW = EW #边权值表
self.D = [] #Delta表,最大非规范化概率的局部状态路径概率
self.P = [] #Psi表,当前状态和最优前导状态的索引表s
self.BP = [] #BestPath,最优路径
return
def Viterbi(self):
'''
条件随机场预测问题的维特比算法,此算法一定要结合CRF参数化形式对应的状态路径图来理解,更容易理解.
'''
self.D = np.full(shape=(np.shape(self.V)), fill_value=.0)
self.P = np.full(shape=(np.shape(self.V)), fill_value=.0)
for i in range(np.shape(self.V)[0]):
#初始化
if 0 == i:
self.D[i] = np.multiply(self.V[i], self.VW[i])
self.P[i] = np.array([0, 0])
print('self.V[%d]='%i, self.V[i], 'self.VW[%d]='%i, self.VW[i], 'self.D[%d]='%i, self.D[i])
print('self.P:', self.P)
pass
#递推求解布局最优状态路径
else:
for y in range(np.shape(self.V)[1]): #delta[i][y=1,2...]
for l in range(np.shape(self.V)[1]): #V[i-1][l=1,2...]
delta = 0.0
delta += self.D[i-1, l] #前导状态的最优状态路径的概率
delta += self.E[i-1][l,y]*self.EW[i-1][l,y] #前导状态到当前状体的转移概率
delta += self.V[i,y]*self.VW[i,y] #当前状态的概率
print('(x%d,y=%d)-->(x%d,y=%d):%.2f + %.2f + %.2f='%(i-1, l, i, y, \
self.D[i-1, l], \
self.E[i-1][l,y]*self.EW[i-1][l,y], \
self.V[i,y]*self.VW[i,y]), delta)
if 0 == l or delta > self.D[i, y]:
self.D[i, y] = delta
self.P[i, y] = l
print('self.D[x%d,y=%d]=%.2f\n'%(i, y, self.D[i,y]))
print('self.Delta:\n', self.D)
print('self.Psi:\n', self.P)
#返回,得到所有的最优前导状态
N = np.shape(self.V)[0]
self.BP = np.full(shape=(N,), fill_value=0.0)
t_range = -1 * np.array(sorted(-1*np.arange(N)))
for t in t_range:
if N-1 == t:#得到最优状态
self.BP[t] = np.argmax(self.D[-1])
else: #得到最优前导状态
self.BP[t] = self.P[t+1, int(self.BP[t+1])]
#最优状态路径表现在存储的是状态的下标,我们执行存储值+1转换成示例中的状态值
#也可以不用转换,只要你能理解,self.BP中存储的0是状态1就可以~~~~
self.BP += 1
print('最优状态路径为:', self.BP)
return self.BP
def CRF_manual():
S = np.array([[1,1], #X1:S(Y1=1), S(Y1=2)
[1,1], #X2:S(Y2=1), S(Y2=2)
[1,1]]) #X3:S(Y3=1), S(Y3=1)
SW = np.array([[1.0, 0.5], #X1:SW(Y1=1), SW(Y1=2)
[0.8, 0.5], #X2:SW(Y2=1), SW(Y2=2)
[0.8, 0.5]])#X3:SW(Y3=1), SW(Y3=1)
E = np.array([[[1, 1], #Edge:Y1=1--->(Y2=1, Y2=2)
[1, 0]], #Edge:Y1=2--->(Y2=1, Y2=2)
[[0, 1], #Edge:Y2=1--->(Y3=1, Y3=2)
[1, 1]]])#Edge:Y2=2--->(Y3=1, Y3=2)
EW= np.array([[[0.6, 1], #EdgeW:Y1=1--->(Y2=1, Y2=2)
[1, 0.0]], #EdgeW:Y1=2--->(Y2=1, Y2=2)
[[0.0, 1], #EdgeW:Y2=1--->(Y3=1, Y3=2)
[1, 0.2]]])#EdgeW:Y2=2--->(Y3=1, Y3=2)
crf = CRF(S, SW, E, EW)
ret = crf.Viterbi()
print('最优状态路径为:', ret)
return
if __name__=='__main__':
CRF_manual()
self.V[0]= [1 1] self.VW[0]= [1. 0.5] self.D[0]= [1. 0.5]
self.P: [[0. 0.]
[0. 0.]
[0. 0.]]
(x0,y=0)-->(x1,y=0):1.00 + 0.60 + 0.80= 2.4000000000000004
(x0,y=1)-->(x1,y=0):0.50 + 1.00 + 0.80= 2.3
self.D[x1,y=0]=2.40
(x0,y=0)-->(x1,y=1):1.00 + 1.00 + 0.50= 2.5
(x0,y=1)-->(x1,y=1):0.50 + 0.00 + 0.50= 1.0
self.D[x1,y=1]=2.50
(x1,y=0)-->(x2,y=0):2.40 + 0.00 + 0.80= 3.2
(x1,y=1)-->(x2,y=0):2.50 + 1.00 + 0.80= 4.3
self.D[x2,y=0]=4.30
(x1,y=0)-->(x2,y=1):2.40 + 1.00 + 0.50= 3.9000000000000004
(x1,y=1)-->(x2,y=1):2.50 + 0.20 + 0.50= 3.2
self.D[x2,y=1]=3.90
self.Delta:
[[1. 0.5]
[2.4 2.5]
[4.3 3.9]]
self.Psi:
[[0. 0.]
[0. 0.]
[1. 0.]]
最优状态路径为: [1. 2. 1.]
最优状态路径为: [1. 2. 1.]
CRF 模型 可以 解决什么问题?
比如逻辑回归,接着用模型去预测这一天的每张照片最可能的活动标记。
这种办法虽然是可行的,但是却忽略了一个重要的问题,就是这些照片之间的顺序其实是有很大的时间顺序关系的,而用上面的方法则会忽略这种关系。比如我们现在看到了一张Bob闭着嘴的照片,那么这张照片我们怎么标记Bob的活动呢?比较难去打标记。但是如果我们有Bob在这一张照片前一点点时间的照片的话,那么这张照片就好标记了。如果在时间序列上前一张的照片里Bob在吃饭,那么这张闭嘴的照片很有可能是在吃饭咀嚼。而如果在时间序列上前一张的照片里Bob在唱歌,那么这张闭嘴的照片很有可能是在唱歌。」
举个例子把,比如 天气预测,序列标注,还是这个 图片排序,都是有一个特点,那就是 有 相互依赖关系」
比如,对于 词性标注 任务,每个词的词性往往和上下文的词的词性有关
step 2 : CRF 模型的历史?(随机场->HMM->MEMM->CRF)
宁静致远:
「我:「我:「我:【问题】step 2 : CRF 模型的历史?(随机场->HMM->MEMM->CRF)」
聊聊 随机场呗:每个位置按照某种分布随机赋予一个值 所构成 的 整体。」
马尔可夫过程:由于 每个状态间 是以 有向直线连接,也就是 当前时刻状态 仅与上一时刻状态相关。」
HMM 比较核心了,首先需要 找到他的一些东西,比如 两序列:观测序列和隐藏序列,其实 只要 能够 转化为 已知一个序列,然后去预测另外一个序列 的 问题 , 而且 每个节点相关, 都可以用 CRF,
金金金:
对呀,就还是HMM的那两个基本假设;CRF解除了这两个假设?
金金金:
MEMM是解除了观测变量的独立性假设
从有向到无向是解除了t时刻状态变量仅受t-1时刻状态变量的假设