拓扑排序
一个无环的有向图称作有向无环图。简称DAG图。
有向无环图是描述含有公共子式的表达式的有效工具。可以利用有向无环图，则可以实现对相同子式的共享，从而节省存储空间。
AOV网（顶点表示活动的网）：在一个(用DAG图)表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系。
拓扑序列：由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。
拓扑排序是一个有向无环图（DAG）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：
-
每个顶点出现且只出现一次。
-
若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
拓扑排序是对一个有向图构造拓扑序列的过程。
DAG图拓扑排序的算法思想：
- 在有向图中选择一个没有前驱的顶点且输出之。
- 在图中删除该顶点和它射出的所有弧。
- 重复上述两步，直到全部顶点均已全部输出，或者当前图中不存在没有前驱的顶点为止。
◆ 后一种情况说明有向图中肯定存在环
DAG图拓扑排序的算法步骤：
- 将邻接表中所有入度为0的顶点进栈
- 栈非空时，弹出栈顶元素Vj
◆ 在邻接表中查找Vj的直接后继Vk，将Vk的入度减1
◆ 若Vk的入度为0则进栈 - 重复上述操作直至栈空为止
◆ 若栈空时输出的顶点个数不是n，则有向图有环
拓扑排序：如果图中有一条从u到v的路径，则顶点v必须出现在顶点u之后。找出顶点活动网中的拓扑序列称“拓扑排序”。
拓扑排序的过程：
邻接表：
由以上步骤得拓扑有序序列为0，1，3，2，5，4，6。
拓扑排序既可用深度优先搜索，也可用广度优先搜索实现。
时间复杂度为O(n+e)
关键路径
AOE网(活动在边上)： AOE网是一个带权的有向无环图。其中顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。
AOE网与AOV网的相同点：
- 都是有向无环图。
AOE网与AOV网的不同点：
- AOE网的边表示活动，边有权值，边代表活动持续时间；顶点表示事件，事件是图中新活动开始或者旧活动结束的标志。
- AOV网的顶点表示活动，边无权值，边代表活动之间的先后关系。
AOE图的性质：
- 所有AOE-网只有一个源点（入度为0的点)和一个汇点（出度为0的点）。
例如：V1表示整个工程开始，V9表示整个工程结束。 - 只有进入某顶点的各个活动结束，该顶点所代表的事件才能发生；
只有某顶点所代表的事件发生， 从该顶点出发的各个活动才能开始（例如：顶点V5）。
关键路径
定义：在AOE网中，从源点从汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径。
假设开始点是V1，从V1到Vi的最长路径长度叫做事件Vi的最早发生事件。(这个事件决定了所有以Vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。)
- e(i)表示活动ai的最早开始的时间
- l(i)表示活动ai的最迟的开始时间；
- 两者之差l(i)-e(i)意味着完成活动ai的时间余量。
- 关键活动：l(i)=e(i)
概念：
假设：活动ai由弧<j , k>表示，持续时间为dut（<j , k>）
- ① 事件Vj的最早发生时间ve(j) ：源点到Vj 最长路径的长度
◆ 典例：事件V5的最早发生时间（正(源点往后)推为7）
假设：活动ai由弧<j , k>表示，持续时间为dut（<j , k>）
- ② 活动ai的最早开始时间e(i)： 由性质2，e(i)决定了
所有以Vj为尾的弧，所表示活动的最早开始时间
◆ 典例 ：活动a7和a8的最早开始时间（7，由定义可知）
◆ 性质3： e(i)=ve(j)
◆ e(i)=ve(j)的意义：活动最早开始时间由射出结点决定
假设：活动ai由弧<j , k>表示，持续时间为dut（<j , k>）
- ③ 事件Vk的最迟发生时间vl(k) ：Vk到汇点最长路径的长度
◆ 典例：事件V8的最迟发生时间（倒推为14）
假设：活动ai由弧<j , k>表示，持续时间为dut（<j , k>） - ④ 活动ai的最迟开始时间l(i)：由vl(k)倒推
◆ 典例：活动a9的最迟开始时间（倒推为10）
◆ 性质4： l(i)=vl(k)- dut（<j , k>）
◆ 利用性质 l(i)=vl(k)- dut（<j , k>
- ⑤ 定义：完成活动ai的时间余量： l(i)-e(i)
◆ 定义：l(i)=e(i)的活动称为关键路径/非关键路径的含义
- 归纳：重要性质
⑴ 性质3： e(i)=ve(j)
⑵ 性质4： l(i)=vl(k)- dut（<j , k>）
意义：将e和l的求解转换为ve和vl的求解
⑶ 关键路径算法
关键路径是指设计中从输入到输出经过的延时最长的逻辑路径。