大话数据结构 第七章 图（二） 最小生成树、最短路径、拓扑排序、关键路径算法

最小生成树

定义

• 所谓的最小成本，就是n个顶点，用n-1条边把一个连通图连接起来，并且使得权值的和最小
• 最小生成树：构造连通网的最小代价生成树

Prim算法

• 中心思想是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树
• 假设N=（V，{E}）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}，TE={}开始。重复执行下述操作：
• 在所有u∈U，v∈V-U的边（u,v）∈E中找一条代价最小的边（u0,v0）并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最小生成树
• 主要针对稠密图（边数较多时）
• 算法的时间复杂度为O(n^2)

Kruskal算法

• 中心思想是以边为目标去构建，因为权值是在边上，直接去找最小权值得边来构建最小生成树，构建时要考虑是否形成了环路
• 假设N=（V，{E}）是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T={V, {} }，图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。以此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
• 主要针对稀疏图
• 算法的时间复杂度为O（e log e）

最短路径

• 对于网图来说，最短路径，是指两顶点之间经过的边上权值之和最小的路径

Dijkstra算法

• 是一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法
• 不是一下子求出了源点到终点的最短路径，而是一步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上， 求得更远顶点的最短路径
• 用于解决从某个源点到其余各顶点的最短路径问题，算法复杂度为O（n^2）
• 若要用于任一顶点到其余所有顶点的最短路径，复杂度为O（n^3）

Floyd算法

• 定义两个数组D和P，其中D代表顶点到顶点的最短路径权值和的矩阵，P代表对应顶点的最小路径的前驱矩阵
• D^0[v][w] = min{D^(-1)[v][w], D^(-1)[v][0] + D^(-1)[0][w]}
• D0以D^(-1)为基础，D1以D0为基础……直至最后一个顶点Dn
• 代码间接，时间复杂度为O（n^3）

拓扑排序

• 主要是为了解决一个工程能否顺序进行的问题

AOV网

• 在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的有限关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称为AOV网

拓扑序列

• 设G=(V, E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的序列v1,v2,…vn，满足若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在vj之前。则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列

拓扑排序算法

• 基本思路是：从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤，直到输出全部顶点或者AOV网中不存在入度为0的顶点为止
• 顶点表结点结构：in（入度的数字），data，firstedge
• 使用了栈结构（LIFO）
• 将入度为0的顶点入栈的时间复杂为O(n)，入度减1的操作共执行了e次，整个算法的复杂度为O(n+e)

关键路径

• 主要为了解决工程完成需要的最短时间问题

AOE网

• 在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，称之为AOE网
• 把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径称为关键路径，在关键路径上的活动称为关键活动

关键路径算法

• 只需要找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，并且比较它们，如果相等就意味着此活动是关键活动，活动间的路径为关键路径
• 时间复杂度为O(n+e)