大话数据结构 第七章 图（一） 图的概念、结构和遍历

图

定义

• 图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V表示图G中顶点的集合，E表示图G中边的集合

图和线性表的区别

• 在线性表中，数据元素之间是被串起来的，仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和直接后继
• 在图形结构中，结点之间的关系是可以任意的，图中任意两个数据元素都可能相关

各种概念

• 无（有）向边：两顶点之间的边没有（有）方向，有向边也称为弧，有弧头和弧尾。无向边用小括号表示，有向边用尖括号表示
• 无向完全图和有向完全图
• 稀疏图和稠密图
• 网：带权的图
• 子图
• 度：某顶点和其相关的边的数目。度=入度（以顶点为头） + 出度（以顶点为尾）
• 路径长度：路径上的边或弧的数目（针对无向图）
• 简单路径：路径序列中顶点不重复出现的路径

连通图

• 在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的。如果对于图中任意两顶点，它们都是连通的，则称图G是连通图
• 连通分量：无向图中的极大连通子图
• 有向图：强连通图。
• 强连通分量：有向图中的极大强连通子图
• 生成树：所谓的一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边
• 有向树：有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1

存储结构

邻接矩阵

• 使用两个数组来表示图：一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息
• 在网图中，数组元素的值为对应的权，0或者infinity
• 时间复杂度为O(n^2+n+e)

邻接表

• 考虑对边或弧使用链式存储的方式，避免顺序结构带来的空间浪费问题
• 邻接表：数组与链表相结的存储方法（以顶点为弧尾存储链表，对应出度）
• 图中的顶点用一个一维数组存储，每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点个数不定，使用单链表存储
• 顶点表结点结构：data，firstedge（指针域，指向边表的第一个结点）
• 边表结点结构：adjvex（邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标），next（存储指向边表中下一个结点的指针）
• 时间复杂度为O(n+e)
• 逆邻接表：以弧头存储链表，对应入度

十字链表

• 主要针对有向图，结合了邻接表+逆邻接表
• 可以同时了解到顶点的出度和入度
• 顶点表结点结构：data，firstin（入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点），firstout（出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点）
• 边表结点结构：tailvex（弧起点在顶点表中的下标），headvex（弧终点在顶点表中的下标），headlink（入边表指针域，指向终点相同的下一条边），taillink（边表指针域，指向起点相同的下一条边）

邻接多重表

• 更关注边的操作，仿照了十字链表的方式
• 重新定义的边表结点结构：ivex，ilink，jvex，jlink，其中ivex和jvex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。ilink指向依附顶点ivex的下一条边，jlink指向依附顶点jvex的下一条边

边集数组

• 由两个一维数组组成：一个是存储顶点的信息；另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标、终点下标和权组成
• 更适合对边依次进行处理的操作，不适于对顶点进行操作

图的遍历

• 图的遍历：从图的某一顶点出发，访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程称为图的遍历

深度优先遍历

• 从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。
• 与树的前序遍历类似

广度优先遍历

• 类似于树的层序遍历
• 深度优先更适合于目标比较明确，以找到目标为主要目的的情况；而广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优解的情况。