数据结构和算法：第七章 排序

7.1 预备知识

我们描述的算法都将是可以互换的。每个算法都将接收包含一些元素的数组；假设所有的数组位置都包含要排序的数据。我们还假设N是传递到排序程序的元素个数。
除（引用）赋值运算外，这是仅有允许对输入数据进行的操作。在这些条件下的排序叫做基于比较的排序

7.2 插入排序

插入排序由N-1趟组成。对于p=1到N-1趟，插入排序保证从位置0到位置p上的元素为已排序状态。插入排序利用了这样的事实：已知位置0到位置p-1上的元素已经处于排过序的状态。
)

• 插入排序的最好和最坏的时间复杂度都是O(N^2) 插入排序是一种稳定的排序。

7.3 希尔排序

希尔排序的名称起源于它的发明者Donald Shell。该算法是冲破二次时间屏障的第一批算法之一。正如上节所提到的，它通过比较相距一定间隔的元素来工作；各趟比较所用的距离随着算法的进行而减少，知道只比较相邻元素的最后一趟排序为止。

希尔排序使用一个序列h1,h2,…,hi，叫做增量序列。

• 希尔排序是一个非常不稳定的排序。希尔排序的时间复杂度为O(n^(1.3—2))

7.4 堆排序

优先队列可以用于以O(NlogN)时间的排序。基于该思想的算法叫做堆排序，它给出了我们至今所见到的最佳大O的运行时间。

回忆建立N个元素的二叉堆的基本策略，这个阶段花费O(N)的时间。然后我们执行N次deleteMin操作。按照顺序，最小的元素先离开堆。通过将这些元素记录到第二个数组然后再将数组拷贝回来，得到N个元素的排序。由于每个deleteMin花费的时间开销都是O(logN),因总的运行时间为O(N*logN)

• 堆排序是一个不稳定的排序。它的时间复杂度为O(N*logN)

7.5 归并排序

归并排序以O(N*logN)最坏情形时间运行，而所使用的比较次数几乎是最优的。它是递归算法的一个很好的实例。

归并排序的基本操作是合并两个已排序的表。因为这两个表示已经排序好的，所以若将输出放到第三个表中，则该算法可以通过对输入数据一趟排序来完成。基本的合并算法是取两个输入数组A和B，一个输出数组C，以及三个计数器Actr、Bctr、Cctr，它们初始置于对应数组的开始端。A[ctr]和B[ctr]中的较小者被拷贝到C中的下一个位置，相关的计数器向前推进一步。当两个输入表中有一个用完的时候，则将另一个表中剩余部分都拷贝到C中。

• 归并排序是一种稳定的排序。它的时间复杂度为O(N*logN)

7.6 快速排序

快速排序是实践中的一种快速的排序算法，在C++和Java基本类型中的排序中特别有用。它的平均时间复杂度是O(N*logN)。该算法之所以特别快，主要是由于非常精炼和高度优化的内部循环。它的最坏的情形时间复杂度为O(N^2)

基本思想：随便选取一项，然后形成三个组：小于被选项的一组，等于被选项的一组，大于被选项的一组。递归地对第一和第三组的排序，然后把三组接龙。根据递归地基本原理，结果保证是对原始列表的一个有序排列。

• 归并排序是一种不稳定的排序。它的时间复杂度为O(N*logN)

7.7 线性时间的排序： 桶排序和基数排序

7.7.1 桶排序

任何算法首先始于思想（逻辑），只有思想（逻辑）是对的，才需要考虑优化算法的时间消耗和内存消耗。所谓“桶排序”，即把待排序数列装进一个形如桶的数据结构中，这里的桶中只保存桶中有多少个数据，并不保存实际的数值（其实是保存了的，只是比较巧妙）。上面已经说过，桶排序需要知道一些额外的关于待排序数列的信息，这个信息就是待排序数组的最大值，因为这决定了桶结构的大小。

1. 构建桶。待排序数列最大值为M，以数组Bucket[M]作为桶结构，初始化桶结构所有元素为0，即初始时每个桶中保存的数据为0个；

2. 扫描待排序数组。依次扫描待排序数组a[N]，依次Hash（散列）待排序数组中每个元素到桶结构中，这里的Hash函数是Hash(x) = a[i]，一旦某个元素Hash到某一个桶中，则该桶保存的数据个数+1；（仔细体会这个过程，这里Hash的作用时把a[i]与桶结构数组的下标关联）

3. 扫描桶结构数组。依次扫描桶结构，如果桶结构中某一元素不等于0，则表示该桶中至少保存有一个待排序数组中的数值，那这个待排序数组中的数值是多少呢？根据第（2）步中的Hash过程，这个数值就是桶结构对应的下标值，即只要桶结构该元素不等于0，就依次打印桶结构对应位置的下标，所得结果就是排序后结果。

   如待排序数组时：4，1，2，56，1，20，3，48，50，48 这里共10个数，最大值M=56，根据桶排序思想，桶排序流程如下：

（1）构建桶

（2）扫描待排序数组，进行Hash操作

（3）扫描桶结构数组，依次打印下标结果为：1，1，2，3，4，20，48，48，50，56。 排序完成，具体代码如下：

void BucketSort(int *a, const int N, const int M)
{
	//构建桶
	int *bucket = new int[M];
	for(int i=0;i<M;i++)
		bucket[i] = 0;
	
	//依次扫描待排序数组，Hash操作
	for(int i=0;i<N;i++)
		bucket[ a[i] ] += 1;
	
	//依次扫描桶结构，打印下标
	for(int i=0;i<M;i++)
	{
		while(bucket[i] != 0)
		{
			cout << i << " ";
			--bucket[i];
		}
	}

7.7.2 基数排序

了解了桶排序，有没有什么想法？首先它的时间复杂度是多少？O(M+N)，主要体现在扫描桶结构的过程中，那么它的空间复杂度又是多少呢？是O（M）。回过头来想一想，你排序10个元素，用了56个内存空间，那要是还是刚刚那个数列，只是最大值变了，变为999，那么你的空间复杂度变为1000，也就是说对10个数进行排序，用了1000个额外空间，这未免也太奢侈了吧，为了解决这个问题，就有了基数排序（其实基数排序的原理在很久以前就有了）。

怎么解决呢?那就是用多趟桶排序，每趟只排序所有数列中数值中的某一位，如个位、十位、百位等，同理，基数排序也需要知道待排序数列的额外信息，但不是最大值本身，只是最大值的位数P，P就是桶排序的趟数。

如何进行多趟排序呢？如果从最低位（个位）开始，每进行一趟桶排序，完成之后需要先收集这一趟的排序结果，作为下一趟排序的输入，所以整个基数排序是一个分配和收集循环的过程。这并没有比桶排序多出多少工作量，只有两个方面：（1）基数排序需要多趟桶排序；（2）每一趟桶排序之后需要收集当前的排序结果，作为下一趟排序的输入。对于第一点，可以用用for循环跟踪P实现多趟排序控制，对于第二点，难点在于怎么收集当前排序结果？用什么结构来收集？答案是用二维数组收集，为什么是二维数组，看看下面的例子：

如果待排序数组为：64, 8, 216, 512, 27, 729, 0, 1, 342, 125，最大数有3位，则需要3趟桶排序，则第一趟（按个位数值排序）排序结果为：

收集第一趟排序结果为：0,1,512,343,64,125,216,27,8,729，收集原则为从下到上，依次收集每个桶中的元素；

第二趟排序（按十位数值排序）结果为：

根据收集原则，第二次桶排序结果为：0,1,8,512,216,125,27,729,343,64，以该数列为基础，进行第三趟桶排序（按百位数值排序），结果如下：

再收集桶排序结果为：0,1,8,27,64,125,216,343,512,729.由于这是最后一趟桶排序，则所得结果即为最后排序结果。

7.8 外部排序

岂止为今，我们讲解的所有算法都需要将输入数据装入内存。然而，存在一些应用程序它们的输入量太大装入不进内存。所以接下来我们讲解的就是外部排序，它就是设计用来处理数据量很大的输入数据。

7.8.1 为什么需要外部排序

大部分内存排序算法都用到内存可直接寻址的事实。希尔排序用一个时间单位比较a[i]和a[i-hk]。堆排序用一个时间单位比较元素a[i]和a[i*2+1]。使用三数中值分割法的快速排序以常数个时间单位比较a[left]、a[center]、a[right]。如果输入数据在磁盘上，由于转动磁盘和移动磁盘所需要的延迟，仍然存在实际上的效率损失。