本章目录
1.图的定义和术语
2.图的存储结构
3.图的遍历
4.图的连通性问题
图的定义和术语
图中的数据元素通常称为顶点，
<v，w>是从v到w的一条弧，v是弧尾，w是弧头，此图称为有向图。
(v，w)表示v和w的一条边，此图为无向图。
n个顶点的图，有1/2n（n-1）条边的无向图称为完全图，有n（n-1）条弧的有向图称为有向完全图，很少条边或弧的称为稀疏图，反之称为稠密图。每条边或弧都有与它相关的权值的图称为网。
图中的一部分生成的图称为子图。
顶点v的度：是和v相关联的边的数目。
出度：有向图中以v为尾的弧的数目
入度：有向图中以v为头的弧的数目
从顶点v到n有路径，则称v和n是连通的。
图中任意两点都是连通的，则称图是连通图。
连通分量：指无向图中的极大连通子图。
有向图中：任意两点vi和vj都有从vi到vj和从vj到vi的路径，则称为强连通图。
极大强连通子图称为强连通分量。
图的存储结构
图采用多重链表存储结构和数组存储结构，常用的有邻接表，连接多重表和十字链表。
邻接矩阵存储法：
邻接表：在邻接表中，对每个顶点建立一个单链表，表中的结点表示依附于该点的边。
逆邻接表：图中的结点的单链表的记录以该顶点为头的弧的信息。
十字链表：将连接表和逆邻接表结合起来的一种链表。
邻接多重表：
图的遍历
深度优先搜索：类似于树的先根遍历，visited[i]==true表示该顶点已经被访问过。用递归实现如下代码
用栈实现：从顶点v出发，将v入栈，开始循环（退出条件，栈为空），如果栈不为空弹出栈顶元素，访问该元素，将该元素的所有未被访问过的邻接点入栈。
广度优先搜索：类似于树的按层次遍历过程，用队列实现，原理，从顶点v出发，访问v，并v入队列，开始循环（退出条件，队列为空），取出队头元素，并访问队头元素的未被访问的邻接点并依次入队列。如下代码
图的连通性问题
在无向图的遍历过程中，对于连通图，只需要从一个顶点出发，就可以遍历整个图，但非连通图中需要从多个顶点出发遍历多次，每次遍历获得该图的一个连通分量。
有向图的强连通分量：从某一个顶点出发，沿着出弧的方向深度优先遍历图，并将图中顶点以该顶点退出递归函数DFS的顺序进行标记（出发的肯定是最后退出递归函数的点），当遍历完成是，出弧方向能访问的点的退出递归函数的顺序记录完成了，然后选择最后退出递归函数DFS的点（第一次逆向深度遍历，肯定是从出发点开始），进行沿着同一方向遍历入弧，遍历完成得到一个强连通分量，在从剩下的最后被访问的顶点继续逆向深度搜索，获得其他强连通分量。
最小生成树算法：
普里姆算法：顶点集合N，辅助顶点集合S，初始化中，将出发点vi加入S，并从N中删除
1.从点vi出发找到vj不在S中的vi最短的邻边，（vi，vj），存储该边，将vj从N一道S中
2.在从vj出发找到vx不在S中的vj的最短的邻边，（vj，vx），vx不能再S中，存储该边，将
3.重复2步骤直至所有顶点加入S集合
普里姆算法：与边的多少关系不大，适合计算边稠密的图
克鲁斯卡尔算法：将图中的N个订单分成Ni个点集合，T是边集合，TE是最小生成树的边集合。
1.从T中找出一条最短的边，这条边是连接两个不同集合的边
2.将该边的顶点所在的集合合并成一个集合，将边的两点和值记录到TE中
3.从T中删除该边
4.重复步骤1-3，知道所有顶点合并成一个集合
克鲁斯卡尔算法适合计算边稀疏的图
关节点：可以将一个连通分量分割成两个或多个连通分量的点。
重连通图：没有关节点的图，在重连通图中任意两点之间至少存在两条路径
关节点求法：算法较难理解，算法结合了先序深度搜索和后序深度搜索，先序深度搜索确定每个点访问的顺序，而后序深度搜索则根据先序计算的顺序确定关节点。具体递归算法步骤：
递归算法：递归算法中，第一部分为记录结点访问次序，中间部分为调用递归函数访问子节点，第三部分为根据递归函数的退出，来确定结点的回边。
1.从vi开始，调用递归算法
2.一直递归到某个点s（该没有未被访问的邻接点），这个点有两种状况，第一种是没有回边，只有一条指向双亲的边，则记录该结点的回边值为该结点的双亲的访问顺序值，第二种是有回边，则记录该点回边值为指向最先访问的祖先的访问循序值，退出递归函数
3.从第二步退出递归函数后，如果s结点为无回边状况，则判断s的父节点为关节点，如果为有回边状况，则s结点的回边值肯定小于双亲的访问循序值，则将双亲的回边值也跟新为该值。
4.重复2，3步骤。
算法解析：该算方法看是使用的是先序深度遍历，实则先序深度遍历只是用于确定结点的 访问顺序，而真正进行关节点判断的为后序深度遍历。
有向无环图
全序关系：若集合X上的关系R是自反的、对称的和传递的，则R是集合X的一个全序关系
例如三角形相似关系，三角形A与自身相似满足自反性，A相似B，则B相似于A，满足对称性，A相似于B，B相似于C，则A相似于C满足传递性，则三角形相似关系是三角形集合中的一个全序关系
偏序关系：若集合X上的关系R是自反的、反对称的和传递的，则R是集合X的一个偏序关系
例如大于等于关系：A >= B,且B>=A，则A=B，满足反对称，A >= A满足自反，A>=B，B>=C，则A >= C满足传递，则大于等于关系是实数R上的偏序关系。
AOV网：顶点表示活动，用弧表示活动优先关系的有向图
AOE网：弧带有权值的AOV网
关键路径：最早开始时间和最晚开始时间相同的活动组成的路径
最短路径
迪杰斯特拉算法：
矩阵二位数组矩阵T存储顶点vi到各顶点的最短路径值，初始状态为邻接顶点为弧的权值，非邻接顶点为无穷大。数组S用于存储最短路径，存储单元为该弧的前驱顶点的下标和与前驱顶点之间的弧的权值。
1.从T中找出一条弧值最小的弧（vi，vj），将该弧加入S中，并根据vj的邻接点vx更新T，如果（vi，vj）+（vj ，vx） < （vi，vx），则更新（vi，vx）为（vi，vj）+（vj ，vx） ，并记录其vx的前驱为vj
2.从T中找出不在S中的剩余的弧中权值最小的重复1步骤。
弗洛伊德算法：
算法思想，以每一个顶点为中介值去更新矩阵。
