05/11/2020
05/12/2020 - 直线的向量表达式的语义

表示方法

如何表示一个图元或形状

隐式表示：通过定义一个布尔函数表示。
$x^2 + y^2 + z^2 = 1 （球函数）$
参数形式表示

例子：圆表达式
$x(t) = cos(2\pi t) \\ y(t) = sin (2\pi t)$
t被称作参数，当t从0变化大1时，点（x(t),y(t)）的轨迹就是所要描述的形状

直接形式表示：专业术语表达易于理解
线段
球心和半径表示球
自由度：每个几何图元都有一个固有的属性，球有半径，长方体有长宽高

直线与射线

射线表达

$x(t) = x_0 + t \Delta x \\ y(t) =y_0 + t \Delta y$
$$

直线

$隐式定义：ax+by = d \\ 向量表达：p\cdot n = d\\ 斜截式： y = mx + b$

向量表达式

$p\cdot \vec n = d$
设向量n = [a,b]. n是垂直于直线的单位向量，d给出了原点到直线的有符号距离。这个距离是在垂直于直线的方向（平行于n）上度量的。

d如果为正，直线和标准向量n代表的点在原点的同一侧
当d不断增大时，直线沿方向n移动

球和圆

表达式可以见最上面

公式

面积或体积
周长或表面积

矩形边界框

用来界定物体的几何图元的矩形边界框。

专业术语

轴对齐矩形边界框（axially aligned bounding box），它的边必须垂直于坐标轴
AABB：一个3D的简单六面体，每一边平行于一个坐标平面

AABB表达方式

$p_{min} = [x_{min},y_{min},z{min}]\\ p_{max} = [x_{max},y_{max},z{max}]$

中心点
半径向量：它是从中心点指向p_{max<\sub>的向量}

AABB与边界球

AABB比边界球更适合于做定界体。

易于计算一个点集的AABB：编程易于实现
大部分时候AABB的体积比边界球体积小

变换AABB

用变换后的物体重新计算AABB，或者对AABB做和物体同样的变换。
AABB有8个点，通常重新计算会快的多。但是会面临一个问题，AABB有时候也会发生扭曲或者旋转，导致新边界比原边界框大许多。
最后，选择AABB做和物体同样的变换，再根据矩阵情况下，再重新计算最小值和最大值。

平面

表达方式

$$
隐式定义：ax+by +cz= d
向量表达：p\cdot n = d （n为法向量，p为面上的点）

平面3个点计算n和d

叉乘可以计算垂直于两个向量的向量。

从点集中求出最佳平面的

一组三个以上的点集中求出平面方程，叫作多边形顶点。

点到平面的距离

公式:q是一个点
$q\cdot n - d$
如果等于0，表示点在平面上

三角形

三角形由三个顶点构成。

基本性质
面积
- 普通版：底乘高除2
- 海伦公式：如何在不知道高的情况下计算面积，用三角形三边长度计算面积
- 进阶版：用三角形三个顶点计算面积

重心坐标空间

在3D世界中，为了方便移动或使用三角形。三角形所在平面的任一点都能表示为顶点的加权平均值。

特殊点

重心
内心
外心

多边形

简单化：把复杂的多边形变成简单的多边形的组合，比如多个三角形组合成梯形等。

自相交多边形

边相加

凸或者凹多边形

简单化不同，凹多边形需要使用辅助线。

三角分解和扇形分解

任意多边形都能分解为三角形。
扇形三角分割出一些长的，较细的三角形。

3D基础数学第十二章

3D数学5-几何图元

几何图元