JOI 2020 Final 题解

翻译界最 速 传 说

T1 只不过是长的领带

显然第 $k$ 长的 $A$ 与 $B$ 匹配是最优的，考虑将 $A, B$ 排序，当 $k \le i$ 时， $B_i$ 与 $A_{i+1}$ 匹配，当 $k> i$ 时， $B_i$ 与 $A_i$ 匹配，因此我们用一个前缀最值一个后缀最值就可以拼出每个 $k$ 的答案。
时间复杂度 $\Theta(N\log N)$。
代码链接

T2 JJOOII 2

我们要找一个最短的子串使得串里包含 $J^kO^kI^k$ 这一子序列，显然从任何一个位置可以贪心选取，因此我们考虑用一个队列，当队列里的元素超过 $k$ 个就 pop，可以预处理出每个位置以其结尾至少要多长才能包含 $J^k, O^k, I^k$，就能求算出每个位置以其结尾至少要多长才能包含整个。时间复杂度 $\Theta(N)$。
代码链接

T3 集邮比赛 3

我们注意已经经过的区域是包含 $0$ 位置的一个区间，故记 $f(l, r, k)$ 为“当前已经经过的站是 $l\sim r$，其中成功集邮 $k$ 张，现在站在 $l$ 位置的可行最小时间”。这一状态可以 $\Theta(1)$ 转移，答案即为不为 $+\infty$ 的最大的 $k$，时间复杂度 $\Theta(N^3)$。
代码链接

T4 奥运公交

注意到数据范围下有 $M = O(N^2)$，我们跑最短路只需要使用 $\Theta(N^2)$ 的贪心 dijkstra 即可。记四个最短路树 $S_s, S_t, T_s, T_t$ 分别是从 $s, t$ 出发，沿着 $G$ 的最短路树和 $G^{\mathsf T}$ 的最短路树，对于一条边 $(u, v)$，我们先认为不把边考虑为反向，而是添加一条反向边，这样新的答案必然是让 $1\leadsto N$ 的原最短路和 $1\leadsto v \rightarrow u \leadsto N$ 的取较小值， $N \leadsto 1$ 也类似。注意到如果 $(u, v)$ 这条边不出现在这四个最短路树上，则新的方案必然不经过 $(u, v)$，我们直接用于更新答案即可。而在某个最短路树上的边只有 $O(N)$ 条，我们每个重新暴力建图跑一遍最短路即可。
时间复杂度 $\Theta(N^3 + M)$。
代码链接

T5 火灾

不错，我就是原题哥！

注意 $T$ 时间的 $i$ 位置的值就是 $[i-T, i]$ 这一段的 max，我们要解决的就是等长区间的一段区间 max 之和。
考虑每个 $i$，将 $S_i$ 取为最大值的所有区间 $[l, r]$ 有 $l\in [L_i, i], r\in[i, R_i]$，通过笛卡尔树或者排序容易求得。在二维平面上即询问是一条斜率为 $1$ 的线段，有 $N$ 个矩形。考虑将所有坐标进行变换 $y \leftarrow y-x$，我们的询问就是一条平行于 $x$ 轴的直线，而矩形变成平行四边形。用 4 个树状数组，两个维护直线，两个维护斜线，即可在扫描线的过程中维护答案。
时间复杂度 $\Theta((N+M)\log N)$。
代码链接