「JOI 2018 Final」毒蛇越狱 题解

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传送门

Solution

这题神了。

为方便叙述，令 $a_i$ 表示第 $i$ 只蛇的毒性，$F_i={\sum }_{j\in i}{a}_j$，$G_i={\sum }_{i\in j}{a}_j$，其中 $x\in y$ 表示 $x$ 是 $y$ 的子集；令某次询问中 ? 有 $x$ 个，0 有 $y$ 个，1 有 $z$ 个。

Part 1: 暴力

一种朴素的做法是，暴力枚举每个 ? 填上 $0$ 还是 $1$。

时间复杂度 $O(2^x)$。

Part 2: 对 $0$ 容斥

考虑对 $0$ 进行容斥: 钦定一些 $0$ 不满足要求（也就是说在该位上填 $1$ 而非 $0$），剩下的 $0$ 看做 ?；显然，各种情况的方案数乘容斥系数之和即为答案。

不难发现，方案数就是 $G_{mask}$，其中 $mask$ 表示 $\lceil$ 所有钦定不满足要求的位置集合 $s$ $\rfloor$ 和 $\lceil$ 所有原来就已经固定为 $1$ 的位置集合 $\rfloor$ 的并集，容斥系数就是 $(-1{)}^{|s|}$。

时间复杂度 $O(2^y)$。

Part 3: 对 $1$ 容斥

与 Part 2 同理，钦定一些 $1$ 不满足要求。方案数就是 $F_{mas{k}^{\prime }}$，其中 $mas{k}^{\prime }$ 表示 $\lceil$ 所有没有钦定不满足要求的位置集合 $\rfloor$ 和 $\lceil$ 所有原来填有 ? 的位置集合 $\rfloor$ 的并集，容斥系数就是 $(-1{)}^{|s^{\prime }|}$。

时间复杂度 $O(2^z)$。

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综上所述，我们将 $x,y,z$ 排个序；若 $x$ 最小那么调用 Part 1，若 $y$ 最小那么调用 Part 2，若 $z$ 最小那么调用 Part 3。

注意到 $x+y+z=n$，所以 $\min (x,y,z)\le \lfloor \frac{n}{3}\rfloor$，总复杂度 $O(2^{n}n+q{2}^{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor })$，可以通过本题。

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