选择数字
题目描述
给定一行n
个非负整数a[1]..a[n]
。现在你可以选择其中若干个数,但不能有超过k
个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。
输入格式
第一行两个整数n,k
。
以下n
行,每行一个整数表示a[i]
。
输出格式
输出一个值表示答案。
输入输出样例
输入
5 2
1
2
3
4
5
输出
12
说明/提示
对于20%
的数据,n <= 10
。
对于另外20%
的数据, k = 1
。
对于60%
的数据,n <= 1000
。
对于100%
的数据,1 <= n <= 100000
,1 <= k <= n
,0 <= 数字大小 <= 1,000,000,000
。
时间限制500ms
。
数组含义
a[i]
: 原数组。
sum[i]
: 前缀和,便于计算。
dp[i][1/0]
: 前i
个数字的状态下,第i
个数字选/不选的和的最大值。
q[i]
: 在单调数列中第i
个数字,在原数组的下标。
基本思路
当第i
个数字不选的时候,比较简单,取前i-1
的状态选或不选的最大值即可。
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])
当第i
个数字选的时候,可以枚举前j
个数字的状态,依次取最大值即可。
dp[i][1]=max(dp[j][0])-sum[j]+sum[i]
(伪代码,误抄)
但是本题数据很大,暴力枚举j
,效率堪忧。
因为题中可以对a[i]
选或不选,在有限制的条件下,a[i]
肯定越大越好,所以可以用到单调队列进行优化。
(在此提一句,刚开始我想到用贪心,从头枚举,每个区间都正好卡'k'的长度,但是很明显可以举出反例)
7 3
1 4 1 10000 1 4 1
用到单调队列,就可以把式子改了。
dp[i][1]=dp[q[head]][0]-sum[q[head]]+sum[i]
最后记得开long long
哟。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+50;
int n,k;
ll a[maxn];
ll sum[maxn];
ll dp[maxn][2];
ll q[maxn];
int main(){
int head=1;
int tail=1;//这个我测试了一下,必须是1,若为0,则需要进行初始化
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
dp[1][1]=a[1];//tail=0时必加的初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]);
while(q[head]<i-k&&head<=tail){//去掉最先走出队列,而且值也不大的数字
head++;
}
dp[i][1]=dp[q[head]][0]-sum[q[head]]+sum[i];
while(sum[i]-dp[i][0]<sum[q[tail]]-dp[q[tail]][0]&&head<=tail){//若尾端加入的数字,去掉的数字总值比i时还大,则直接去掉
tail--;
}
q[++tail]=i;
}
printf("%lld\n",max(dp[n][1],dp[n][0]));
return 0;
}