BZOJ1855 || P2569 [SCOI2010]股票交易【单调队列优化DP】

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Description

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi>=BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

Input

输入数据第一行包括3个整数，分别是T，MaxP，W。接下来T行，第i行代表第i-1天的股票走势，每行4个整数，分别表示APi，BPi，ASi，BSi。

Output

输出数据为一行，包括1个数字，表示lxhgww能赚到的最多的钱数。

HINT

对于30%的数据，0 < =W 对于50%的数据，0 < =W 对于100%的数据，0 < =W
对于所有的数据，1 < =BPi < =APi < =1000,1 < =ASi,BSi < =MaxP

题目分析

$dp[i][j]$ 表示到第 $i$ 天时手上恰好有 $j$ 张股票的最大收益
那么有状态转移方程

dp[i][j]=-j*ap[i]//赋初值
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j])//第i天啥也不干
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][k]-(j-k)*ap[i])//第i天买入股票，(j-as[i]<=k<j)
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][k]+(k-j)*bp[i])//第i天卖出股票，(j<k<=j+bs[i])

直接转移复杂度为 $O(n^3)$ ，显然无法承受
尝试把第3、4个方程中k的枚举省去
以第3个为例
$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][k]-(j-k)*ap[i])=max(dp[i][j],max(dp[i-w-1][k]+k*ap[i])-j*ap[i])$

这里面的 $max(dp[i-w-1][k]+k*ap[i])$ 显然可以用单调队列维护
对于第4个方程同理，不过 $j$ 的枚举要倒序

这样复杂度就降到 $O(n^2)$ 了

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;
   
int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}
 
const int maxn=2010;
int n,m,w;
int ap[maxn],bp[maxn];
int as[maxn],bs[maxn];
int dp[maxn<<1][maxn<<1],ans;
int q[maxn],ll,rr;
 
int main()
{
    n=read();m=read();w=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    ap[i]=read(),bp[i]=read(),
    as[i]=read(),bs[i]=read();
     
    memset(dp,128,sizeof(dp)); dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=0;j<=as[i];++j) dp[i][j]=-1*j*ap[i];
        for(int j=0;j<=m;++j) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
         
        if(i-w-1<0) continue;
        ll=rr=1;
        for(int j=0;j<=m;++j)
        {
            while(ll<rr&&q[ll]<j-as[i]) ll++;
            while(ll<rr&&dp[i-w-1][q[rr-1]]+q[rr-1]*ap[i]<=dp[i-w-1][j]+j*ap[i]) rr--;
            q[rr++]=j;
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][q[ll]]-(j-q[ll])*ap[i]);
        }
          
        ll=rr=1;
        for(int j=m;j>=0;--j)//注意这里倒叙
        {
            while(ll<rr&&q[ll]>j+bs[i]) ll++;
            while(ll<rr&&dp[i-w-1][q[rr-1]]+q[rr-1]*bp[i]<=dp[i-w-1][j]+j*bp[i]) rr--;
            q[rr++]=j;
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][q[ll]]+(q[ll]-j)*bp[i]);
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;++i)
    ans=max(ans,dp[n][i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}