题解 恨7不成妻
前言
好题，真是好题，真是奋斗了摸了两天才勉强做出来的好题。
感谢fr大佬的讲解，对数位dp加深了不少理解。深刻发现：菜鸡打了300+行代码，大佬100行就解决了，效率还更高。太菜了(* ￣︿￣)！
题解
这么明显的提示，很容易就能发现是数位dp吧
这道题第一次我做的时候有困难，我就去请教了fr大佬。经大佬指教之后，感觉新的解法和旧的解法有比较大的区别。这里就不提原本的解法，直接讲优化后的解法
\(dp\)式子
观察题面，我们不难发现：这道题居然求的不是个数，不是和，而是平方和，一时间感觉很难递推。
由于是递归，我们在求解\(k\)位的时候，\(k-1\)的情况已经推完了
我们设第\(k\)位为\(A\)，设\(k-1位\)为\(B\)，利用完全平方公式
由于事实上一个状态由多个状态递推过来，所以实际上
\(\sum a^2\)需要利用到前一个状态的个数；
\(\sum 2\times a \times b\)中可以提取\(\sum 2\times a\)作为公因数，剩下的\(\sum b\)需要利用到前一个状态的和
\(\sum b^2\)需要利用到前一个状态的平方和
因此我们需要同时维护三个\(dp\)
\(f[i][j][k]\)记录的是数字的各个数位上的数字之和\(\mod 7 = i\)，数字\(\mod 7 = j\)，的\(k\)位数的个数
\(g[i][j][k]\)记录的是数字的各个数位上的数字之和\(\mod 7 = i\)，数字\(\mod 7 = j\)，的\(k\)位数的和
\(h[i][j][k]\)记录的是数字的各个数位上的数字之和\(\mod 7 = i\)，数字\(\mod 7 = j\)，的\(k\)位数的平方和
\[f[i][j][k]=\sum_{p=0}^{9}(p\not=7) f[ti][tj][k-1] \]
且\(ti+p\mod 7 =i\),\(tj+p\times 10^{k-1}\mod 7 =j\)
\[g[i][j][k]=\sum_{p=0}^{9}(p\not=7) p\times 10^{k-1}\times f[ti][tj][k-1]+g[ti][tj][k-1] \]
\[h[i][j][k]=\sum_{p=0}^{9}(p\not=7) \sum f[ti][tj][k-1](p\times 10^{k-1}+符合[ti][tj][k-1])^2 \]进一步推出\(\Rightarrow\)
\[h[i][j][k]=\sum_{p=0}^{9}(p\not=7) p^2\times 10^{2k-2}\times g[ti][tj][k-1]+2\times p \times 10^{k-1} \times g[ti][tj][k-1]+h[ti][tj][k-1] \]
emm，dp推完了！ˋ( ° ▽、° )
tips:dp过程中，无需考虑零的位置。也就是说，由前置零的情况也被计算进去了
数位dp求解
经过fr大佬指点，认识到了数位dp更优秀的求解方法
从高位向低位直接枚举，然后通过限制"前缀"的方法，时候后面的数字可以自由组合，充分利用上了dp
举例说明，以3245为例：
- 从最高为——千位开始，由于千位上是3，因此分别尝试0,1,2,后面的3位数可以自由组合
- 第二高位是百位，数字是2，那么就尝试30,31,后面2位数字自由组合
- 之后是十位，数字是4，尝试320,321,322,323，后面一位数自由组合。
- 只剩最后一位了，暴力枚举即可
我之前做的时候，特意在dp中避免了前缀零的情况，导致了dp推导麻烦，数位求解也麻烦。欸，是我太菜了{{{(>_<)}}}
完整代码
code:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD=1e9+7;
ll f[7][7][25],g[7][7][25],h[7][7][25],tim[45],tims[45];
int T;
void init();
inline void inc(ll&,ll);
ll calc(ll);
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in","r",stdin);
#endif
init();
scanf("%d",&T);
while(T--){
ll l,r; cin>>l>>r;
ll ansl=calc(l-1ll),ansr=calc(r);
cout<<(((ansr-ansl)%MOD+MOD)%MOD)<<endl;
}
return 0;
}
void init(){
ll tmp=1;
for(int i=0;i<=40;++i) {tim[i]=tmp; tmp*=10ll; tmp%=MOD;}
tmp=1;
for(int i=0;i<=40;++i) {tims[i]=tmp; tmp*=10ll; tmp%=7ll;}
for(int i=0;i<=9;++i) if(i!=7){
f[i%7][i%7][1]++;
g[i%7][i%7][1]+=i;
h[i%7][i%7][1]+=i*i;
}
for(int k=2;k<=20;++k){
for(int i=0;i<=6;++i){
for(int j=0;j<=6;++j){
for(int p=0;p<=9;++p){
if(p==7) continue;
ll tmp;
inc(f[i][j][k],f[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1]);
tmp=p*tim[k-1]; tmp=tmp%MOD;
tmp=(tmp % MOD)*(f[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1] % MOD); tmp%=MOD;
inc(g[i][j][k],tmp);
inc(g[i][j][k],g[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1]);
tmp=p; tmp%=MOD; tmp*=tmp; tmp%=MOD;
tmp*=f[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1]; tmp%=MOD;
tmp*=tim[2*k-2]; tmp%=MOD;
inc(h[i][j][k],tmp);
tmp=2ll*p*tim[k-1]; tmp%=MOD;
tmp*=g[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1]; tmp%=MOD;
inc(h[i][j][k],tmp);
inc(h[i][j][k],h[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1]);
}
}
}
}
}
inline void inc(ll& a,ll b){
(a+=b)>=MOD?a-=MOD:a;
}
ll calc(ll num){
ll ans=0;
if(num<10){
for(int i=1;i<=num;++i){
if(i==7) continue;
ans+=i*i;
}
return ans;
}
int line[20]; line[0]=0;
while(num) {line[++line[0]]=num%10; num/=10;}
ll add=0,sum=0;
for(int k=line[0];k>=2;--k){
for(int p=0;p<=line[k]-1;++p){
if(p==7) continue;
add+=p; sum=sum*10ll+p;
for(int i=0;i<=6;++i){
if((add+i)%7==0) continue;
for(int j=0;j<=6;++j){
if((sum%7ll*tims[k-1]+j)%7==0) continue;
// h[i][j][k]+=f[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1]*p*p*tim[2*k-2];
// h[i][j][k]+=2*p*tim[k-1]*g[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1];
// h[i][j][k]+=h[((i-p%7)%7+7)%7][((j+7-p*tims[k-1])%7+7)%7][k-1];
ll tmp=sum; tmp%=MOD; tmp*=tmp; tmp%=MOD;
tmp*=f[i][j][k-1]; tmp%=MOD;
tmp*=tim[2*k-2]; tmp%=MOD;
inc(ans,tmp);
tmp=2ll*sum; tmp%=MOD;
tmp*=tim[k-1]; tmp%=MOD;
tmp*=g[i][j][k-1]; tmp%=MOD;
inc(ans,tmp);
inc(ans,h[i][j][k-1]);
}
}
add-=p; sum-=p; sum/=10ll;
}
if(line[k]==7) return ans;
add+=line[k]; sum=sum*10ll+line[k];
}
for(int p=0;p<=line[1];++p){
if(p==7) continue;
if((add+p)%7==0) continue;
if((sum*tims[1]+p)%7==0) continue;
ll tmp=sum*tim[1]+p; tmp%=MOD; tmp*=tmp; tmp%=MOD;
inc(ans,tmp);
}
return ans;
}