2020牛客暑期多校训练营Sort the Strings Revision(分治，RMQ(笛卡尔树))

Sort the Strings Revision

题目描述

输入描述:

输出描述:

示例1

输入

2
5
1 3 1 4
5 2 0 170
1
0 0 0 1
1000000000 1000000006 1000000006 1000000007

输出

26717147
10000019

说明

题目大意

给定 $n$，则有数列 $0,1,...$，其中 $n_i=i\,mod \,10$。有数列 $p$和 $d$，表示对 $n$进行操作。
对于任意的 $i$，操作就是把数列 $0,1,\dots,n$中第 $p_i$个修改成 $d_i$。
现在顺序进行操作，得到 $n+1$个数列（包括原数列），求将这些序列根据字典序从小到大排序后的名次的哈希值和是多少（名次从 $0$开始）。
注：输入给出的是一些数字，为了避免输入耗时，根据题目中的描述生成 $d$和 $p$。

分析

接下来深解题意。

如图， $p$和 $d$都已经生成，第一行为原数列，不操作。
那么根据名次 $4,5,2,3,1,0$可以得到答案：
$\qquad\mathop{\sum}\limits_{i=0}^n(r_i*10000019^i)\,mod\,1000000007$
$=(4*10000019^0+5*10000019^1+\dots+0*10000019^5)\,mod\,1000000007$
$=26717147$

分治

首先看到这道题，肯定考虑暴力排序求解。但是很快发现复杂度不对，所以开始想一个棒棒的思路。

首先，我们从数列的最高位开始比较（这不就是字典序的比较顺序吗），当我们第一次发现不一样时，如下图。

从中间不一样的地方分开，发现下面的总是小于上面的数列。再对于每一部分分开考虑，如下图。

再找到第一个不一样的地方，发现总是可以用这种方法快速地进行排序。然后与所学的算法联系起来，这不就是分治吗？

但是还是有问题，如果把这个数列一个一个构造出来，和暴力没有区别。所以我们肯定是不能考虑这样做的。因此，只能从 $p$和 $b$下手。

因此，我们把 $p$和 $b$也一起分开试试。

观察这个图……但是还是看不出有什么规律。但是我们稍加分析就发现，操作0 0是没有意义的还有如果没有操作也是无法正常思考的，因此不妨我们设一个极大值inf。

于是我们惊奇地发现，每次可以根据 $p$的最小值，然后据此上下分开，把较小的那边的名次从0开始，较大的那边从2开始。然后对于每段区间，再查找最小值，分开，名次偏移，再分，再偏移……直到只有一个为止，此时，我们只需要对于 $p$进行操作判断即可。如图，

接下来就是考虑那边名次大。此时就要考虑每次操作之后字典序大小的变化。显然，每次操作，如果 $d_i>p_i$时，字典序是变大的，此时下方的字典序就大于上面。反之亦然。

于是就有大体的分治的思路：找到 $p$最小的位置，然后上下分开考虑，如果 $d_i>p_i$，则下方的名次偏移量较大，上方较小。

RMQ

上述思路中需要快速求出最小值。你可以选择许许多多的求最值的方法，线段树，树状数组， $RMQ$， $ST$……但是这些都被出题人卡掉了（这是我T了百遍的ST代码）。因此我们需要一个构建是 $O(n)$的数据结构——笛卡尔树。

笛卡尔树的工作原理是这样的。
这里大概略写：用单调栈维护一条链，如果遍历到一个量违背了单调，则将元素弹出直到不违背。然后将该元素放到左子树上。

WAWA

注意dfs里面的信息传递，非常容易WA掉，还有一定用笛卡尔树！！！

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1<<30
using namespace std;
const int MAXN=2e6+10;
const int MOD=1e9+7;
int st[MAXN],ls[MAXN],rs[MAXN];
ll p[MAXN],d[MAXN];
int r[MAXN];
ll sd,a,b,mod,ans,M;
int n;
void init(int n){
	st[0]=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
        int k=st[0];
        while(k>0&&p[st[k]]>p[i]) k--;
        if(k) rs[st[k]]=i;
        if(k<st[0]) ls[i]=st[k+1];
        st[++k]=i; st[0]=k;
    }
}//笛卡尔树
void dfs(int k,int left,int right,int rnk){
	if(p[k]==inf||left>=right){for(int i=left;i<=right;i++) r[i]=rnk+(i-left);return;}//边界直接标记名次
    dfs(ls[k],left,k,rnk+(p[k]%10>d[k])*(right-k));
    dfs(rs[k],k+1,right,rnk+(p[k]%10<d[k])*(k-left+1));//注意rnk的转移
}
int main()
{
	int t;scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&sd,&a,&b,&mod);
		for(int i=0;i<n;i++) p[i]=i;
		for(int i=1;i<n;i++) swap(p[sd%(i+1)],p[i]),sd=(sd*a%mod+b)%mod;
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&sd,&a,&b,&mod);
		for(int i=0;i<n;i++) d[i]=sd%10,sd=(sd*a%mod+b)%mod;
		for(int i=0;i<n;i++) if(p[i]%10==d[i]) p[i]=inf;//如果无意义设为极大值
		init(n);//建树
		dfs(st[1],0,n,0);//dfs跑分治
		ans=0;M=1;
		for(int i=0;i<=n;i++) ans=(ans+((r[i])*M)%MOD)%MOD,M=(M*10000019)%MOD;//按题意哈希
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

END

第一次学到笛卡尔树，%了%了。不过笛卡尔树的查询其实有点沙雕，只是在这道题里非常的吻合。而且OI也不会来卡这种东西，所以以后还是用ST……
嗯LaTeX真好用，博文漂亮多了。