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【1】2020.07.25-13:39
【2】2020.07.26-12:20
目录
- （狭义）数论
- 排列组合
- 这是啥？自己看
- 高等数学
总前言
以证明为主的东西你会发现与原书相似又不相似
那是因为思路相似，但是过程可能不一样
数论
前言
为啥叫狭义呢，因为某些是数论的东西我单独拿出来了
思考了很久，决定还是得重学数论
数论这个东西吧，主要是证明，过程很好懂
（但是让你证明的时候你就完蛋了）
不像微积分似的，根本看不懂
（但是学习之后自己做题的时候一点问题没有）
自己还放着一大堆博客没有写呢
但是没有关系，忘掉那些，这里是数论的天下
正文
初等数论 - I（陈景润）
[P12 - 引理8]
设 \(a\;\)与\(\;b\;\)都是正整数，且\(a>b,\;\;a=bq+r\;(0<r<b)\)
其中 \(q,r\)都是正整数，则 \((a,b)=(b,r)\)
————————证明————————
设 \((a,b)=c\)
则 \(a=cm\; , \;b=cn\)
则 \(r=a-bq=cm-cnq=c\;(m-nq)\)
所以 \(c\;|\;r\)
所以 \(c\;|\;(b,r)\)
设 \((b,r)=d>c\)
由上知 \((a,b)=d>c\)
而这与假设相矛盾，所以
\((a,b)\;=\;c\;=\;(b,r)\)
Q.E.D
[P18 - 引理9]
设\(a,b\in N^*\)，\(\{a,b\}=m\)，\(n\)为 \(a\;,\;b\) 的公倍数，则 \(m\;|\;n\)
————————证明————————
有 \(1\leqslant m\leqslant n\)
有 \(a\;|\;m\;,\;b\;|\;m\;,\;a\;|\;n\;,\;b\;|\;n\)
设 \(m=aa'\;,\;m=bb'\;,\;n=aa''\;,\;n-bb''\)
设 \(n=mq+r\;(0\leqslant r<m)\)
由于 \(n-mq=r\)
得 \(aa''-aa'q=r\;,\;bb''-bb'q=r\)
得 \(a(a''-a'q)=r\;,\;b(b''-b'q)=r\)
所以 \(a\;|\;r\;,\;b\;|\;r\)
所以 \(r\) 为 \(a\;,\;b\) 的公倍数
又因 \({a,b}=m\)
所以 \(r=0\)
所以 \(m\;|\;n\)
Q.E.D
[P19 - 引理10]
设 \(a,b\in N^*\)，\((a,b)=m\;,\;\{a,b\}=n\)，则 \(ab=mn\)
————————证明————————
有 \(ab=np\)
则 \(\dfrac{n}{b}=\dfrac{a}{p}\;,\;\dfrac{n}{a}=\dfrac{b}{p}\)
则 \(p\;|\;a\;,\;p\;|\;b\)，为 \(a\;,\;b\) 的公因数
设 \(a\;,\;b\) 的另一个公因数\(m'\)
则 \(m'=\dfrac{ab}{q'}\)
则 \(q'=\dfrac{ab}{m'}\)
因为 \(\dfrac{a}{m'},\dfrac{b}{m'}\in N^*\)
所以 \(q'\)为 \(a,b\) 的公倍数
所以 \(\dfrac{q'}{n}=\dfrac{ab}{m'\left(\dfrac{ab}{p}\right)}=\dfrac{p}{m'}\)
因为 \(\forall m'|p\)
所以 \(p=(a,b)=m\)
所以 \(ab=mn\)
Q.E.D
排列组合
前言
说实话这是我小学时的噩梦
正文
为了更好的理解基础概念，我们用一个题来展开：
给定一个集合\(S\)，内有\(n\)个元素，且\(1-n\)每个数恰好出现一次
如果不计顺序，求出从集合\(S\)中选出\(m\;(m<=n)\)个元素的方案数
- 不计顺序就是说\((1,3,2)\) 和 \((1,2,3)\)算两种方案
我们想：既然不计顺序，则第一个数有\(n\)种选择方案，对于每种方案，第二个数有\(n-1\)种选择方案，第三个数有\(n-2\)种
以此类推，第\(m\)个数有\(n-m\)种选择方案
所以：\(A^m_n=n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times(n-m)=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)
如果计顺序呢？
也就是说\((1,3,2)\) 和 \((1,2,3)\)算一种方案
设\(\lambda(x)\)为含有\(x\)个的元素的集合的全排列个数
则我们发现，每个重复的集合都被恰好计算了\(\lambda(m)\)次
所以：\(C^m_n=\dfrac{A^m_n}{\lambda(m)}=\dfrac{A^m_n}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)
（不会真的有人不知道全排列个数怎么推吧，不会吧不会吧）
（写了一堆没用的）
插空与隔板
例如这么两个题
[1]已知三元一次方程\(x+y+z=13\)，求这个方程的正整数解的个数
高斯消元党请自觉往下面去
乍一看 这是什么玩意 这完全没有思路
但意思其实就是给你13个球，让你用两块板子将其分隔成三部分
既然分隔，所以我们看的不是球的个数，而是空隙的个数
所以答案为：\(C^2_{12}=66\)
验证程序：
#include<iostream>
#define F(a,b) for(int a=1;a<=b;a++)
int ans;
signed main(){
F(i,13) F(o,13) F(p,13)
if(i+o+p==13) ans+=1;
std::cout<<ans;
}
out: 66
[2]已知三元一次方程\(x+y+z=13\)，求这个方程的非负整数解的个数
非负说明了可能有零的出现
意思其实就是给你13个球，让你分到3个箱子里，每个箱子允许不放
就等价于每个箱子事先放进去1个，然后13个球让你分到3个箱子里，每个箱子里至少有一个
就相当于16个球用俩板子分成三部分
所以答案为：\(C^2_{15}=105\)
验证程序：
#include<iostream>
#define F(a,b) for(int a=0;a<=b;a++)
int ans;
signed main(){
F(i,13) F(o,13) F(p,13)
if(i+o+p==13) ans+=1;
std::cout<<ans;
}
out: 105
太懒了不想写
平面向量
前言
没啥好说的，OI数学基础，多巩固巩固就彳亍了
正文
基础不想写
高等数学
前言
你微积分永远是你微积分
正文
高等数学 - 第七版（同济大学）
讲到微积分必先讲到函数的极限，讲到极限必先讲到极限的定义
【定义1】
设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义
如果存在常数\(A\)，对于任意给定的\(\varepsilon\in N^*\)，总存在\(\delta\in N^*\)
使得当\(x\)满足不等式\(0<\;|\;x-x_0\;|\;<\varepsilon\)时
对应的函数值都满足不等式\(\;|\;f(x)-A\;|\;<\varepsilon\)
那么常数\(A\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x\to x_0\)的极限，记作
\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)= A\) 或 \(f(x)\to A\)（当 \(x\to x_0\)）
即
\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\)
当\(0<\;|\;x-x_0\;|\;<\varepsilon\)时
有\(\;|\;f(x)-A\;|\;<\varepsilon\)
[例1]
证明 \(\lim\limits_{x\to 1}(2x-1)=1\)
这题面不是废话么QAQ
但是既然让证明了，我们也不能不做（当代理科作业现状）
（算了明天写）
[例2]
计算极限 \(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\arctan x}{x}\)
解：
因为\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\arctan x}{x}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{1}{x}·\lim\limits_{x\to \infty}\arctan x\)
\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{1}{x}=0\;,|\lim\limits_{x\to \infty}\arctan x\;|<\dfrac{\pi}{2}\)
所以\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\arctan x}{x}=0\)