A. 走廊泼水节
题目描述
- 话说，中中带领的 OIER 们打算举行一次冬季泼水节，当然这是要秘密进行的，绝对不可以让中中知道。不过中中可是老江湖了，当然很快就发现了我们的小阴谋，于是他准备好水枪迫不及待的想要加入我们了。
- 我们一共有 n 个 OIER 打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有 n 个水龙头(至于为什么，我不解释)。n 个水龙头之间正好有 n-1 条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是 OIER 门为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密~),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗~)。但是 OIER 门很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那 n-1 条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神 COW 们，帮那些 OIER 们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~
输入格式
- 第一行 t，表示有 t 组测试数据
- 对于每组数据,第一行 n，表示水龙头的个数（当然也是 OIER 的个数）；
- 2 到 n 行，每行三个整数 X,Y,Z；表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道
输出格式
- 对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。
样例输入
2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5
样例输出
4
17
样例解释
- 第一组数据，在2和3之间修建一条长度为4的道路，是这棵树变成一个完全图，且原来的树依然是这个图的唯一最小生成树.
数据范围与提示
- 每个测试点最多 10 组测试数据;
- 50% : \(n\le 1500\)
- 100% : \(n\le 6000,1\le z\le 100\)
Solve
- 根据题意，题目中给出来的这个图是完全图的最小生成树，我们就按照做最小生成树的方式模拟，对给出的边从小到大排序，用并查集维护，依次合并最小边的两端点，同时在两端点所属集合进行连线，需连\(siz_x\times siz_y - 1\)条边（已经连了一条了），边权就是这条边的边权加 1 。
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 6005;
struct Node {
int x, y, d;
bool operator < (const Node &b) const {
return d < b.d;
}
}e[N];
int T, n, f[N], s[N], ans;
int Find(int x) {
return x == f[x] ? x : (f[x] = Find(f[x]));
}
int main() {
scanf("%d", &T);
while (T--) {
ans = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
f[i] = i, s[i] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
scanf("%d%d%d", &e[i].x, &e[i].y, &e[i].d);
sort(e + 1, e + n);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int x = Find(e[i].x), y = Find(e[i].y);
ans += (s[x] * s[y] - 1) * (e[i].d + 1);
f[x] = y;
s[y] += s[x];
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
B. Max Flow
题目描述
- 农场主约翰在他的N (2≤N≤50,000)个牛棚间安装了N-1条管道去运输牛奶，每个管道连接两个牛棚，每个牛棚都用管道直接或间接连接。
- 约翰在K(1≤K≤100,000)对牛棚间挤奶。假设约翰在第i对牛棚间挤奶，两牛棚分别是si,ti，这样挤出的牛奶将会经过si到ti间(包括端点)的每一个牛棚一次，在约翰挤完K对牛棚间的牛奶后，请问运输过牛奶次数最多的牛棚的运送次数是多少？
输入格式
- 第一行有两个整数N和K.
- 接下来N-1行每行两个整数x和y(x≠y)表示牛棚x和y之间有一个管道。接下来K行，每行两个整数s,t表示约翰要在牛棚s和t挤奶。
输出格式
- 只有一行，为K次操作完毕后权值最大的那个点的权值。
样例输入
5 10
3 4
1 5
4 2
5 4
5 4
5 4
3 5
4 3
4 3
1 3
3 5
5 4
1 5
3 4
样例输出
9
Solve
- 树上差分板子题，从 x 到 y 的路径上每个点加 1，就是
++w[x]; ++w[y]; --w[lca]; --w[fa[lca]];
最后统计一下树上前缀和就是每个点的点权 - 为什么是--w[lca]; --w[fa[lca]]呢？正常来讲，[l, r]区间加1 是 ++w[l], --w[r+1],类比一下可知树上应该是w[fa[lca]]-=2 可是这样以来计算他们的lca的时候就多算了一次，所以是--w[lca]; --w[fa[lca]]，保证对lca加1,对fa[lca]没影响。
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e4 + 5;
struct Side {
int t, next;
}e[N<<1];
int head[N], tot;
void Add(int x, int y) {
e[++tot] = (Side) {y, head[x]};
head[x] = tot;
}
int n, k, d[N], f[N][21], w[N], ans;
void Dfs1(int x) {//Lca预处理
d[x] = d[f[x][0]] + 1;
for (int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
int y = e[i].t;
if (y == f[x][0]) continue;
f[y][0] = x;
Dfs1(y);
}
}
int Jump(int x, int k) {
int a = 0;
while (k) {
if (k & 1) x = f[x][a];
k >>= 1; ++a;
}
return x;
}
int Lca(int x, int y) {
if (d[x] < d[y]) swap(x, y);
x = Jump(x, d[x] - d[y]);
if (x == y) return x;
for (int i = 20; i >= 0; --i)
if (f[x][i] != f[y][i])
x = f[x][i], y = f[y][i];
return f[x][0];
}
void Dfs2(int x) {
for (int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
int y = e[i].t;
if (y == f[x][0]) continue;
Dfs2(y);
w[x] += w[y];
}
ans = max(ans, w[x]);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
Add(x, y); Add(y, x);
}
Dfs1(1);
for (int i = 1; i <= 20; ++i)
for (int x = 1; x <= n; ++x)
f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
while (k--) {
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
int lca = Lca(x, y);
++w[x]; ++w[y]; --w[lca]; --w[f[lca][0]];
}
Dfs2(1);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
C. Monotonicity 2(数据加强版)
题目描述
- 对于一个整数序列\(a_1,a_2,...,a_n\)，我们定义其“单调序列"为一个由 <，> 和 = 组成的符号序列 \(s_1,s_1,...s_{n-1}\)，其中符号 \(s_i\) 表示 \(a_i\) 和 \(a_{i+1}\) 之间的关系。例如，数列 2,4,3,3,5,3 的单调序列为 <,>,=,<,> 。
- 对于整数序列 \(b_1,b_2,...,b_{n+1}\) 以及其单调序列 \(s_1,s_2,..s_n\)，如果符号序列 \(s'_1,s'_2,...s'_k\) 满足对所有 \(1\le i\le n\)有 \(s_i=s'_{((i-1)\mod k)+1}\)，我们就说序列 \(s_1,s_2,...,s_n\)「实现」了序列 \(s'_1,s'_2,...,s'_k\)。也就是说，序列 \(s_1,s_1,...s_n\) 可以通过重复多次 \(s'_1,s'_2,...,s'_k\) 序列并删除一个后缀得到。例如，整数数列 2,4,3,3,5,3 至少实现了以下符号序列：
- <,>,=
- <,>,=,<,>
- <,>,=,<,>,<,<,=
- <,>,=,<,>,=,>,>
- 给定一个整数序列 \(a_1,a_2,...,a_n\) 以及一个单调序列 \(s_1,s_2,..s_k\)，求出原整数序列最长的子序列\(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_m}(1\le i_1<i_2<...<i_m\le n)\) 使得前者的单调序列实现后者的符号序列。
输入格式
- 第一行包含用空格分隔的两个整数 n,k，分别表示整数序列 \(a_i\) 的长度和单调序列 \(s_j\) 的长度。
- 第二行包含用空格分隔的 n 个整数，表示序列 \(a_i\).
- 第三行包含用空格分隔的 k 个符号，表示符号序列 \(s_j\).
输出格式
- 第一行输出一个整数 m （保证答案不小于 2），表示序列 \(a_1,a_2,...,a_n\) 的最长的「实现」了单调序列 \(s_1,s_2,..s_n\) 的子序列。
- 第二行输出任意一个这样的子序列\(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_m}\)，元素之间用空格分隔。
样例输入
7 3
2 4 3 1 3 5 3
< > =
样例输出
6
2 4 3 3 5 3
数据范围与提示
- 对于 100% 的数据\(1\le 5\times 10^5,1\le k\le 100,1\le a_i \le 10^6,s_j\in \{<,>,=\}\) 。
Solve
- 具体内容看我的另一篇题解
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5, M = 1e6 + 5;
char c[N];
int n, k, a[N], f[N], t1[M], t2[M], t[M], p[N], ans, last;
int low(int x) {//lowbit函数
return x & -x;
}
void Change1(int x) {前缀最大值向后更新
for (int i = a[x]; i <= 1e6; i += low(i))
if (f[x] > f[t1[i]]) t1[i] = x;
}
int Ask1(int x) {前缀最大值向前查询
int b = 0;
for (int i = a[x] - 1; i; i -= low(i))
if (f[b] < f[t1[i]]) b = t1[i];
return b;
}
void Change2(int x) {后缀最大值向前更新
for (int i = a[x]; i; i -= low(i))
if (f[x] > f[t2[i]]) t2[i] = x;
}
int Ask2(int x) {后缀最大值向后查询
int b = 0;
for (int i = a[x] + 1; i <= 1e6; i += low(i))
if (f[b] < f[t2[i]]) b = t2[i];
return b;
}
void Print(int x) {//递归输出方案
if (!x) return;
Print(p[x]);
printf("%d ", a[x]);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d", &a[i]), f[i] = 1;//f初始化为1
for (int i = 1; i <= k; ++i)
scanf(" %c", &c[i]);
for (int i = k + 1; i < n; ++i)
c[i] = c[(i-1)%k+1];//展开
for (int i = 1, j; i <= n; ++i) {
if (f[i] < f[j=Ask1(i)] + 1)//查询小于号
f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
if (f[i] < f[j=Ask2(i)] + 1)//查询大于号
f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
if (f[i] < f[j=t[a[i]]] + 1)//查询等于号
f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
if (ans < f[i]) ans = f[i], last = i;//更新答案
if (c[f[i]] == '<') Change1(i);//更新小于号
if (c[f[i]] == '>') Change2(i);//更新大于号
if (c[f[i]] == '=' && f[i] > f[t[a[i]]]) //更新等于号
t[a[i]] = i;
}
printf("%d\n", ans);
Print(last);//输出方案
return 0;
}
D. 跳跳棋
题目描述
- 跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。
- 我们用跳跳棋来做一个简单的游戏：棋盘上有 3 颗棋子，分别在 a,b,c 这三个位置。我们要通过最少的跳动把它们的位置移动成 x,y,z 。（棋子是没有区别的）
- 跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过 1 颗棋子。
- 写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。
输入格式
- 第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置 a,b,c。（互不相同）
- 第二行包含三个整数，表示目标位置 x,y,z。（互不相同）
输出格式
- 如果无解，输出一行 NO。
- 如果可以到达，第一行输出 YES ，第二行输出最少步数。
样例输入
1 2 3
0 3 5
样例输出
YES
2
数据范围与提示
- 20% 输入整数的绝对值均不超过 10。
- 40% 输入整数的绝对值均不超过 10000。
- 100% 绝对值不超过 \(10^9\)。
Solve
- 可知有共有4种跳法：2跳到1前面，2跳到3后面，1跳到2后面，3跳到2前面;前两种跳法越跳越宽，一直跳下去必定爆炸，而后两种跳法得满足一定的条件，令\(d_1=x_2-x_1,d_2=x_3-x_2\),只有当\(d_1\ne d_2\)时才可以跳，最后的情况一定是\(d_1=d_2\)，所有的状态最后都会跳到唯一情况的\(d_1=d_2\)，这就好像一颗树，树根是最后的状态，
开始就进行判断，如果两个状态树根都不一样，那就不可到达，然后二分找跟过程可以，类比倍增球lca，但还是有差别
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 0x3f3f3f3f;
struct Node {
int x, y, z;
void Init() {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
if (x > y) swap(x, y);
if (x > z) swap(x, z);
if (y > z) swap(y, z);
}
bool operator != (const Node &b) const {
return x != b.x || y != b.y || z != b.z;
}
bool operator == (const Node &b) const {
return x == b.x && y == b.y && z == b.z;
}
}a, b;
int s, s1, s2;
Node Jump(Node a, int lim) {
s = 0;
while (lim) {
int d1 = a.y - a.x, d2 = a.z - a.y, k;
if (d1 == d2) return a;
if (d1 < d2) {
k = min((d2 - 1) / d1, lim);
a.x += k * d1; a.y += k * d1;
}
else {
k = min((d1 - 1) / d2, lim);
a.y -= k * d2; a.z -= k * d2;
}
lim -= k;
s += k;
}
return a;
}
int main() {
a.Init(); b.Init();
Node ra = Jump(a, M); s1 = s;
Node rb = Jump(b, M); s2 = s;
if (ra != rb) return puts("NO"), 0;
if (s1 < s2) swap(s1, s2), swap(a, b);
a = Jump(a, s1 - s2);
int l = 0, r = s2;
while (l < r) {
int mid = l+r >> 1;
if (Jump(a, mid) == Jump(b, mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
printf("YES\n%d\n", l * 2 + s1 - s2);
return 0;
}