刷题系列——数据结构

方差

令 $D$ 为方差， $S$ 为区间和， $S_2$ 为区间平方和。

$\begin{aligned} D &=\frac{1}{r-l+1} \sum_{i=1}^{r}\left(a_{i}-\frac{S}{r-l+1}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{r-l+1} \sum_{i=1}^{r}\left(a_{i}^{2}-\frac{2 S a_{i}}{r-l+1}+\frac{S^{2}}{(r-l+1)^{2}}\right) \\ &=\frac{1}{r-l+1}\left(S_{2}-S^{2}\right) \end{aligned}$

对区间平方和进行区间加

$\begin{aligned} S_{2}^{\prime} &=\sum_{i=l}^{r}\left(a_{i}+v\right)^{2} \\ &=\sum_{i=l}^{r}\left(a_{i}^{2}+2 v a_{i}+v^{2}\right) \\ &=S_{2}+2 v S+(r-l+1) v^{2} \end{aligned}$

等差序列

对于 $l \sim r$ 加上一个等差序列，令首项为 $a$ ，公差为 $D$ 。可以发现等差序列公式和差分有点像，所以先进行差分，那么区间修改相当于在 $l$ 加上 $a$ ，在 $(l,r]$ 加上 $D$ ，在 $r+1$ 加上 $-a-D \times (r - l)$ 即可。那么查询操作是区间求和。

最长单调序列逆序对

以最长不下降序列为例，维护一个权值线段树或树状数组，区间 $[l,r]$ 为 $a_i \in [l,r]$ 的最长不下降子序列。正序扫，对每个数对桶进行区间最大值转移，再把这个数加进去更新。

逆序对同理，倒着扫，只不过区间最大值改成区间求和。

最大子段和

维护一个线段树，对于一个点表示的 $[l,r]$ ，有三类。一是左儿子的答案，二是右儿子的答案，三是左儿子的后缀与右儿子的前缀拼接。那么线段树要维护的是前缀，后缀还有区间和即可。

对于查询函数，如果当前区间被查询区间包括，返回当前区间答案。如果查询区间全部在当前节点的左儿子或右儿子内，直接递归左儿子或右儿子。否则是当前区间包括了查询区间，那么递归下去把左儿子和右儿子中的询问区间找出来，再讨论一下三类取最值。

P2824 排序

给定一个排列和若干个修改，每次修改将一段区间升序或降序排序。最后求 $p$ 上的数字。

这真女少口阿。

用线段树来排序是不可能的，但可以用区间求和与区间修改模拟 01 序列的排序。而且只有最后的一次查询，那么 $p$ 上的数字有没有单调性？先二分这个要查询的数试一试，让大于等于这个二分值的数为 $1$ ，小于的为 $0$ ，那么对每个询问对 01 序列的排序，如果最后位置 $p$ 是 $1$ 那么就减小二分值，为 $0$ 则增大二分值，这当然有单调性了，就做完了，带了两个 $\log$ 。

P1712 区间

在一个数轴上有 $n$ 个闭区间，选出 $m$ 个区间使得它们包含至少同一个位置。求所有合法方案的最小区间长度极差。

哎，排序区间的长度好像没什么影响，那先排序。排序后好像可以尺取法，那么就一直选，选到有 $\ge m$ 个公共点时就停下来，再减少长度小的区间，直到减少了这个区间就 $<m$ 个公共点再停下来。那么选择的区间就是答案。

至于有多少个公共点，区间加求最大值即可。

P2633 Count on a tree

求一条树上给定的若干个路径上的第 $k$ 小点权。

~~主席树 + 树链剖分~~

考虑一条链上的问题，每棵主席树都是一个的前缀中每个点权出现次数的桶，那么用前缀和的思想可以求出 $[l,r]$ 每个数中出现的次数，再线段树二分一下即可。那么放到树上，可以将前缀和变成树上前缀和，用 lca 转一下就行。

HDU 6315 Naive Operations

给定一个排列 $b$ ，你需要维护一个初始全 $0$ 的序列 $a$ ，支持如下两种操作

区间加 $1$
查询区间 $\left\lfloor \frac{a_{i}}{b_{i}} \right\rfloor$ 之和

直接求不方便，不然把给 $a_i + 1$ 换成给 $b_i - 1$ ，如果减到了 $0$ 就加一，再把把 $b_i$ 赋值回来。可以维护一个区间最小值和区间和，最小值如果减成了 $0$ 就暴力递归到叶子修改，因为 $b$ 是排列，所以这个暴力的复杂度是调和级数不会超时。

二维数点

给定平面上 $n$ 个点 $\left(x_{i}, y_{i}\right),$ 每次问你一个矩形内有多少点。 $1 \leq n \leq 10^{5}$ 允许离线。

用二维前缀和拆成四部分去维护，这是一个二维偏序问题，先对第一维排序，用线段树或树状数组去维护即可。

蚯蚓

给你一堆数，有 $n$ 个，并对他们操作 $m$ 次。每次取出最大的一个数 $x$ ，称之为母数。并将 $x$ 分割成左端数 $[x \times p]$ 和右端数 $x-[p \times x]$ ，并把这两个数放回数堆中，其余数均增加 $q$ 。 $p$ 固定为 $(0,1)$ 的有理数。要求输出每次操作的数x和m次操作后所有数的和。

对于 $85\%$ 的数据，是可以用优先队列搞的。我们用优先队列维护所有蚯蚓的长度，每次取出长度最长的蚯蚓，将其切成两半并丢回队列。有一个问题是如何让其他蚯蚓的长度增加 $q$ 呢？可以记录蚯蚓整体增加的长度，对被切成两半的蚯蚓，将其长度 $-q$ 即可。

对于 $100\%$ 的数据，数据范围不允许带 $log$ ，但是找规律可以发现一个隐藏的单调性，先切成两半的蚯蚓的一半，一定比后切成两半的蚯蚓对应的一半长。所以可以用三个队列分别维护没有被切的蚯蚓，被切成 $[x \times p]$ 的蚯蚓，和被切成 $x- [p \times x]$ 的蚯蚓，每次选出三个队列中最大的蚯蚓切一下再丢回对应队列中即可。

永恒的契约

食物链

动物王国中有三类动物 $A,B,C$ ， $A$ 吃 $B$ ， $B$ 吃 $C$ ， $C$ 吃 $A$ 。现有 $N$ 个动物，以 $1 \sim N$ 编号。每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

一个人按顺序说了 $K$ 句话，第一种说法是 1 X Y，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。第二种说法是 2 X Y，表示 $X$ 吃 $Y$ 。但这 $K$ 句话真假不明，当一句话满足下列任一条件，这句话就是假话，否则就是真话。

当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，或当前的话表示X吃X，就是假话。

求假话的总数。

并查集能维护连通性、传递性。比如朋友的朋友是朋友，朋友的敌人是敌人。但是，维护敌人的敌人是朋友就很难维护了，所以就有种类并查集的诞生。这道题有三个物种，于是我们给并查集开三倍的空间。对于每种生物，第一倍空间储存同类，第二倍储存猎物，第三倍储存天敌，我们不能确定每种生物是 $A$ 还是 $B$ 还是 $C$ ，知道生物的相对关系就够了。

讨论第一种话， $X$ 与 $Y$ 是同类，可以转换成 $X$ 不吃 $Y$ 且 $Y$ 不吃 $X$ 。如果有一点不满足，那么就是谎言。如果都满足，那么 $X$ 的同类都是 $Y$ 的同类， $X$ 的天敌都是 $Y$ 的天敌， $X$ 的猎物都是 $Y$ 的猎物。再讨论第二种话， $X$ 吃 $Y$ ，可以转换成 $X$ 与 $Y$ 不是同类且 $Y$ 不吃 $X$ 。如果有一点不满足，那么就是谎言。如皋港都满足，那么 $X$ 的同类是 $Y$ 的天敌， $X$ 的天敌是 $Y$ 的猎物， $X$ 的猎物是 $Y$ 的同类。

Kinoman

有一个长度为 $n$ 的序列 $f,f_i \in 1 \sim m$ ，有一个长度为 $m$ 的价值序列 $w$ 。选择一个区间 $[l,r]$ 获得的价值是
$\sum_{i=l}^r w_{f_i} \times [count(f_i)=1]$
问价值最大的区间的价值。

预处理出每个数在序列 $f$ 中第一次的位置，和 $f_i$ 在 $f$ 中下一个出现的位置 $nxt$ 。用线段树维护每个位置作为右端点的答案。首先预处理出以 $1$ 为左端点的答案。当 $l + 1$ 时， $[l, nxt_i - 1]$ 间答案 $-w_{f_l}$ 。而 $[nxt_i, nxt_{nxt_i} - 1]$ 间答案 $+w_{f_i}$ 。如果 $nxt$ 不存在，可以看作是 $n + 1$ 。然后每次更新最大值。

练习题

给定一棵 $N$ 个节点的树, 每个点 $i$ 有权值 $a_i$ 。有 $Q$ 个询问, 对于询问 $x,y,k$ , 分别输出树上从 $x$ 到 $y$ 的路径中, 权值小于 / 等于 / 大于 $k$ 的点的数目。强制在线。

这是对树的查询，我们可以通过求 $lca$ 转换成对一条链的查询。套路地，对于一个点 $x$ ，我们维护一个权值线段树以维护一个桶 $b$ ，对于每一个在根到 $x$ 路径上的点 $y$ ，令 $b_{a_y}++$ 。当然，我们不能对每一个点重新建立一棵线段树，这个线段树要支持单点修改和区间求和，区间求和求的是前缀和。我们可以先 dfs 一遍原来的树，在 dfs 的过程中建立主席树。

Mex

有一个长度为 $n$ 的数组 $a_{1 \sim n}$ 。 $m$ 次询问，每次询问一个区间内最小没有出现过的自然数。即求区间 mex。强制在线。

考虑建立权值线段树，维护每一个权值在原数组中最后一次出现的下标。对于查询操作 $[l,r]$ ，可以取出右端点所对应的主席树，并在树上二分查找下标小于 $l$ 的最小权值即为答案。虽然 $a_i$ 非常大，显然答案不会超过 $n$ ，所以不用离散化。