2020暑期牛客多校训练营第八场（Ｅ）Enigmatic Partition（数学，二阶隔项差分）

Enigmatic Partition

原题请看这里

题目描述：

数字 $n$的分区是所有数字之和等于 $n$的集合。
如果分区 $n = a_1 + a_2 + ... + a_m$满足以下签名，则称为神秘分区：

• $a_i$是整数， $1 \le a_i \le n$ $for$ $1 \leq i \leq m$，并且
• $a_i \leq a_{i + 1} \leq a_i + 1$表示 $1 \leq i \leq m$，并且
• $a_m = a_1 + 2$

令 $f(n)$为 $n$的神秘分区的数量。 给定 $l$和 $r$，请计算 $\sum_ {i = l} ^ r f(i)$

输入描述：

第一行包含测试用例的数量 $T(1 \le T \le 10,000)$。
在下面的每条 $T$行中，都有两个整数 $l$和 $r(1 \le l \le r \le 100,000)$。

输出描述：

对于每个测试用例，输出一行包含 $Case$ # $x$： $y$ 的行，其中x是测试用例编号，y是答案。

样例输入：

3
5 7
7 9
1 9

样例输出：

Case #1: 2
Case #2: 7
Case #3: 8

说明：

f(1) = 0.
f(2) = 0.
f(3) = 0.
f(4) = 0.
f(5) = 0.
f(6) = 1: 6 = 1 + 2 + 3.
f(7) = 1: 7 = 1 + 1 + 2 + 3.
f(8) = 2: 8 = 1 + 1+ 1 + 2 + 3, 8 = 1 + 2 + 2 + 3.
f(9) = 4: 9 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3, 9 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3, 9 = 1 + 2 + 3 + 3, 9 = 2 + 3 + 4

思路：

考虑差分。
首先，我们观察题目所给的 $f(n)$的条件：首项末项相差为二，且相邻数字的差值最多为 $1$的不下降序列。
所以对于每一个这样的序列我们都可以分成三段：

• $a_1+a_2+a_3=m$
• $a_1，a_2，a_3 \ge 1$

根据题目意思，我们可以列出下面的等式：

• $a_1val+a_2(val+1)+a_3(val+2)$
• $=a_1val+a_2val+a_2+a_3val+2a_3$
• $=val(a_1+a_2+a_3)+a_2+2a_3$
• $=valm+a_2+2a_3$
• $=n$

这里我们可以发现，对于每一个 $n$都可以分成 $4$个未知数: $val,m,a_2,a_3$，其中 $a_2,a_3 \ge 1$
想到这里，我们就要引入解这题的重要方法————差分

差分用来求解区间加减求和的问题。
实现：对于每一个区间，我们在差分数组上对这个区间的第一个位置加上修改值，最后一个位置减去修改值，再对差分数组求前缀和，那么这个得到的前缀和数组就是最后经过修改的数组。
简单来说，设原数组是 $a[]$，差分数组是 $b[]$，那么 $a_i=b_i-b_{i-1}$
对于差分，还有两个变式：

• 二阶差分

二阶差分其实就是差分里再套一个差分，假设要减去或加上一段有规律的数字，可以对差分数组再进行差分，得到一个二阶差分数组，就可以把有规律的转化成同样的数值。

• 隔项差分

隔项差分就是隔一项差分一次。
介绍完差分，回到本题：
刚刚我们推出了：
$valm+a_2+2a_3=n$
所以我们只要枚举 $val$和 $m$的值，在区间首尾进行标记，最后变回原来的数组就可以了

$AC$ $Code$:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int MAXN=1e5+10;
ll t,l,r,qian[MAXN<<1],f[MAXN<<2];
int main(){
	for(int i=3;i<MAXN;++i)
		for(int j=i;j<MAXN;j+=i){
			f[j+3]++;
			f[j+2*i]++;
			f[j+i+1]--;
			f[j+i+2]--;
		}
	for(int i=3;i<MAXN;++i) f[i]+=f[i-2];
	for(int i=1;i<MAXN;++i){
		f[i]+=f[i-1];
		qian[i]=qian[i-1]+f[i];
	}
	scanf("%lld",&t);
	for(int Case=1;Case<=t;Case++){
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		printf("Case #%d: %lld\n",Case,qian[r]-qian[l-1]);
	}
}