【剑指Offer】10.4 变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级… 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

动态规划

public int JumpFloorII(int target) {
    int[] dp = new int[target];
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int i = 1; i < target; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            dp[i] += dp[j];
    return dp[target - 1];
}

数学推导

f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(1)
f(n-1)=f(n-2)+……f(1)
两式相减得

f(n)=2f(n-1)
而

f(1) = 1
所以

f(n) = pow(2, n - 1)
由此得出：

public class Solution {
  public int JumpFloorII(int target) {
    return target <= 0 ? 0 : 1 << (target - 1);
  }
}

public int JumpFloorII(int target) {
    return (int) Math.pow(2, target - 1);
}

扩展

2的n次方

求解 2 的 n 次方，并且不能使用系统自带的 pow 函数

很多人看到这个题可能觉得让n个2相乘就行了，如果这么做的话，时间复杂度为O（n)了。那么如何用位运算来做呢？

比如n = 13，n的二进制数表示为1101，那么2的13次方可以拆解为：2 ^ 1101 = 2 ^ 0001 * 2 ^ 0100 * 2 ^ 1000。我们可以通过 & 1和 >>1 来逐位读取 1101，为1时将该位代表的乘数累乘到最终结果。最终代码如下：

int pow(int n) {
    int sum = 1;
    int tmp = 2;
    while(n != 0) {
        if(n & 1 == 1)
            sum *= tmp;
        
        temp *= temp;
        n >>= 1;
    }
    return sum;
}