P5771 [JSOI2016]反质数序列(隐含二分图)

P5771 [JSOI2016]反质数序列

直接求不好求,但是容易发现这大概是一个二分图

因为同奇偶性的相加一定不是质数,不同奇偶性数相加就不一定了

所以按照奇偶构建二分图

奇数放二分图左边,偶数放二分图右边

若左边的 $i$和右边的 $j$满足 $a[i]+a[j]$是质数则 $i$向 $j$连一条边

那么这样连边这样可以求一个最大匹配…然而有啥用呢…

最大匹配=最小点覆盖

最大独立集=点数-最小点覆盖

把最小点覆盖抽出来,剩下的数就是最大独立集,彼此不会形成质数

值得一提的是, $1$是特殊的数,因为 $1+1$竟然是质数!!!

那么最后答案中肯定最多只有 $1$个 $1$

把多余的1去掉,就是名副其实的二分图了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e6+10;
const int inf=1e9;
int n,m,s,t,dis[maxn],a[maxn];
struct edge{
	int to,nxt,flow;
}d[maxn]; int head[maxn],cnt=1;
int prime[maxn],vis[maxn],top;
void make_prime()
{
	vis[1]=1;
	for(int i=2;i<=2e5;i++)
	{
		if( !vis[i] )	prime[++top]=i;
		for(int j=1;j<=top&&i*prime[j]<=2e5;j++ )
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if( i%prime[j]==0 )	break;
		}
	}
}
void add(int u,int v,int flow){
	d[++cnt]=(edge){v,head[u],flow},head[u]=cnt;
	d[++cnt]=(edge){u,head[v],0},head[v]=cnt;
}
bool bfs()
{
	for(int i=1;i<=t;i++)	dis[i]=0;
	dis[s]=1;
	queue<int>q; q.push( s );
	while( !q.empty() )
	{
		int u=q.front(); q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=d[i].nxt )
		{
			int v=d[i].to;
			if( d[i].flow&&dis[v]==0 )
			{
				dis[v]=dis[u]+1;
				if( v==t )	return true;
				q.push( v );
			}
		}
	}
	return false;
}
int dinic(int u,int flow)
{
	if( u==t )	return flow;
	int res=flow;
	for(int i=head[u];i&&res;i=d[i].nxt )
	{
		int v=d[i].to;
		if( dis[v]==dis[u]+1&&d[i].flow)
		{
			int temp=dinic(v,min(res,d[i].flow) );
			if( temp==0 )	dis[v]=0;
			res-=temp;
			d[i].flow-=temp;
			d[i^1].flow+=temp;
		}
	}
	return flow-res;
}
int main()
{
	make_prime();
	cin >> n;
	s=0,t=n+1; 
	int one=0,sumn=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin >> a[i];
		if( a[i]==1 )
		{
			one++;
			if( one>1 )
			{
				a[i]=-1,sumn--;
				continue;
			}
		}
		if( a[i]%2==1 )	add(s,i,1);
		else	add(i,t,1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if( a[i]%2==0||a[i]==-1 )	continue;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if( a[j]==-1||a[j]%2==1 )	continue;
			if( !vis[a[i]+a[j]] )
				add(i,j,1);
		}
	}
	int ans=0;
	while( bfs() )	ans+=dinic(s,inf);
	int k=max(0,one-1);
	cout << n-k-ans;
}