排列组合公式推导

全排列：
共n个球，取n个球，有多少种排列？

要从n个球中取n个球，可以想象有n个位置，一个位置放一个球。
第一个位置，有n种选择，然后第2个位置，剩n-1种选择，第3个位置，剩n-2种选择，…依次类推，第n个位置，只剩1种选择。

所以，n个位置共有
n *（n-1）*（n-2）*…* 1 = n!
种排列。
(ps:这里其实用到了分步计数乘法原理)

所以全排列公式：
$$A_n^n=n!$$

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非全排列：
共n个球，取m个球，有多少种排列？

要从n个球中取m个球，可以想象有m个位置，一个位置放一个球。
第一个位置，有n种选择，然后第2个位置，剩n-1种选择，第3个位置，剩n-2种选择，…依次类推，第m个位置，只剩n-m+1种选择。

所以，m个位置共有
n *（n-1）*（n-2）*…* (n-m+1)
= [ n *（n-1）*（n-2）*…* 1 ] / [ (n-m) * (n-m-1) * … * 1]
= n! / (n-m)!
种排列。
(ps:这里也用到了分步计数乘法原理)

所以非全排列公式：
$$A_n^m=n!/(n-m)！$$

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组合：

共n个球，取m个球，有多少种组合？

n个球中取m个球的排列，可以看作：先从n个球中取m个球进行组合，然后再对每个组合进行全排列。
即：
$$A_n^m=C_n^m\ast A_m^m$$
(ps:这里其实也用到了分步计数乘法原理)

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所以组合公式：
$$C_n^m=A_n^m/A_m^m=A_n^m/m!=[n!/(n-m)!]/m!=n!/[m!\ast (n-m)!]$$