343. 整数拆分
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break
解题思路：
对于的正整数 n，当 n ≥ 2 时，可以拆分成至少两个正整数的和。令 k是拆分出的第一个正整数，则剩下的部分是 n−k 可以不继续拆分，或者继续拆分成至少两个正整数的和。由于每个正整数对应的最大乘积取决于比它小的正整数对应的最大乘积，因此可以使用动态规划求解。
我们假设正整数为 i 时，dp[ i ]的值表示拆分后的最大乘积。
那么这个dp[ i ]的值从何而来呢：
当dp[ i -1 ]变为dp[ i ],此时dp[ i - 1 ]中的值表示i - 1拆分后的最大乘积。
正整数i可以拆分为 j 和 i - j 两项，或者是 j 和其他若干项，而这其他若干项之和为 i - j。
由于dp[ i - j ]存储着整数 i - j 拆分后的最大乘积。
综上所述，状态转移方程可以概括为dp[ i ] = max { j * ( i - j ) , j * dp[ i - j ] }。
最终得到 dp[ n ]的值即为将正整数 n 拆分成至少两个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积。
其中dp[ 0 ] = 0，dp[ 1 ] = 0。
贴上代码：
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n + 1);
for(int i = 2;i <= n;i ++)
for(int j = 1;j < i;j ++)
dp[i] = max(dp[i],max(j * (i - j),j * dp[i - j]));
return dp[n];
}时间复杂度：O(n^2)；空间复杂度：O(n)。