闫神视频笔记
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在01背包的基础上要求出最优解的方案数、具体的方案
背包问题求方案数（题目链接）
解题思路：
我们可以设置一个与数组f功能类似的数组g，其中f[i]保存的是体积等于i的最优解（这里是等于，之前的博客说的是小于等于，原因后面会说），而g[i]保存的是体积等于i时的最优解的方案数，而f[i]为什么保存的是等于i的最优解的原因是这样更有利于计算方案数（比如最优解的情况下，体积是4，但是背包的容量是6，如果按小于等于来保存结果，最后统计方案数的时候会把体积是5和6的也计算在内，导致重复计算，因为体积是5和6的最优解就是体积为4的最优解）。如果用f[i]保存的是体积等于i的最优解，最后只要把最优解下不同体积的方案数进行求和就行了。
代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1010,mod = 1000000007,INF = 1000000;
//g[i]保存的是体积为i的最大方案数
int n,m,v,w,t,s,f[N],g[N];
int main(){
// freopen("1.txt","r",stdin);
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<N;i++) f[i]=-INF;
g[0]=1;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>v>>w;
for(int j=m;j>=v;j--){
t = max(f[j],f[j-v]+w);
s = 0;
//继承两个体积中价值最大的方案数；如果两个体积的价值相等，则继承两个体积的方案数的和
if(t==f[j]) s+=g[j];
if(t==f[j-v]+w) s+=g[j-v];
if(s>=mod) s%=mod;
f[j]=t;
g[j]=s;
}
}
int maxn = -INF,sum=0;
for(int i=0;i<=m;i++){
if(f[i]>maxn){
maxn=f[i];
sum=g[i];
}else if(maxn==f[i]) sum+=g[i];
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
背包问题求具体方案（题目链接）
解题思路：
首先我们要确定如何输出其最优解的具体方案。可以这样判断，如果f[i][j]等于f[i-1][j] 则说明不选第i个物品，如果f[i][j]等于f[i-1][j-v[i]]+w[i] 则说明选第i个物品，通过这样的判断来得出完整的路径。
由于题目要求输出字典序最小的方案，所以我们应该以物体编号从小到大的顺序输出结果。
如果以正常顺序计算最优解，然后再从后往前遍历路径的话，输出的结果就不一定是字典序最小的了
正常顺序的代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m,v[N],w[N],f[N][N];
vector<int>V;
int main(){
// freopen("1.txt","r",stdin);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
for(int j=0;j<=m;j++){
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
int vol = m;
for(int i=n;i>=1;i--){
if(f[i][vol]==f[i-1][vol-v[i]]+w[i]&&vol>=v[i]){
vol-=v[i];
V.push_back(i);
}
}
reverse(V.begin(),V.end());
for(auto vv:V){
cout<<vv<<" ";
}
return 0;
}
结果：
输出
237 247 283 286 287 291 299 300
标准答案
3 4 5 7 10 11 167 237
原因：
因为遍历路径的时候从后往前，所以是物品编号越大越优先，这样输出的结果会是编号递增情况下字典序最大的结果。
修改：
因此如果我们要字典序最小的结果，就应该反过来操作，计算最优解的时候从后往前，遍历路径的时候从前往后。
正确代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m,v[N],w[N],f[N][N];
int main(){
// freopen("1.txt","r",stdin);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=n;i>=1;i--){
for(int j=0;j<=m;j++){
f[i][j]=f[i+1][j];
if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
int vol = m;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(f[i][vol]==f[i+1][vol-v[i]]+w[i]&&vol>=v[i]){
cout<<i<<" ";
vol-=v[i];
}
}
return 0;
}
有依赖的背包问题（题目链接）
等我学了图再来。。