【ACWing】11. 背包问题求方案数

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/11/

有$N$件物品和一个容量是$V$的背包。每件物品只能使用一次。第$i$件物品的体积是$v_i$，价值是$w_i$。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模$10^9+7$的结果。

输入格式：
第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。接下来有$N$行，每行两个整数$v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第$i$件物品的体积和价值。

输出格式：
输出一个整数，表示方案数模$10^9+7$的结果。

数据范围：
$0<N,V\le 1000$
$0<v_i,w_i\le 1000$

思路是动态规划，具体方法是两个状态同时递推。设$f[i][j]$是只在前$i$个物品里选，并且总体积恰好是$j$的最大价值（这里取恰好的原因是让方案数的划分更加清晰，最后方案就可以按照总体积来划分）。那么$f$的递推方程是： f [ i ] [ j ] = max ⁡ { f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − v i ] + w i } f[i][j]=\max\{f[i-1][j],f[i-1][j-v_i]+w_i\} f[i][j]=max{ f[i−1][j],f[i−1][j−vi​]+wi​}初始条件$f[0][0]=0,f[0][.>0]=-\infty$，表示该状态转移过来的答案应该舍弃。当把$f[N][V]$递推出来以后，这个$f[N][V]$一定是从$f[0][0]$沿着某条路径走过来的，具体路径需要靠$f[N][V]$反向推回去，看$\max$函数取的是谁。题目要求解的，就是路径的总条数。设$g[i][j]$是上述从$(0,0)$出发走到$(i,j)$这个位置为止的路径总条数（即只取前$i$个物品，总体积恰好是$j$并且总价值是$f[i][j]$的方案数）。而$g$的递推方程要根据$f$的递推来做：$$g[i][j]=\{\begin{array}{l}g[i-1][j],f[i-1][j]>f[i-1][j-v_i]+w_i\\ g[i-1][j-v_i],f[i-1][j-v_i]+w_i>f[i-1][j]\\ g[i-1][j]+g[i-1][j-v_i],f[i-1][j]=f[i-1][j-v_i]+w_i\end{array}$$初始条件$g[0][0]=1$，最后要返回的答案是：$$\sum _{f[n][j]={\max }_{k}f[n][k]}g[n][j]$$可以只开一维数组做空间优化，但是与$0-1$背包类似，体积要从大到小循环。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int n, m;
int f[N], g[N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;
    g[0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j--) {
    
    
            int maxv = max(f[j], f[j - v] + w);
            int cnt = 0;
            // 看maxv是从哪里转移过来的，累加方案数
            if (maxv == f[j]) cnt += g[j];
            if (maxv == f[j - v] + w) cnt += g[j - v];
            g[j] = cnt % mod;
            f[j] = maxv;
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i++) res = max(res, f[i]);

    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i++)
        if (f[i] == res)
            cnt = (cnt + g[i]) % mod;

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(NV)$，空间$O(V)$。

当然如果直接采用$0-1$背包的状态表示也是可以做的，设$f[i][j]$是只在前$i$个物品里选，并且总体积不超过$j$的最大价值。那么$f$的递推方程是： f [ i ] [ j ] = max ⁡ { f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − v i ] + w i } f[i][j]=\max\{f[i-1][j],f[i-1][j-v_i]+w_i\} f[i][j]=max{ f[i−1][j],f[i−1][j−vi​]+wi​}初始条件$f[0][j]=0$。设$g[i][j]$是上述从$(0,0)$出发走到$(i,j)$这个位置为止的路径总条数（即只取前$i$个物品，总体积不超过$j$并且总价值是$f[i][j]$的方案数）。而$g$的递推方程也是：$$g[i][j]=\{\begin{array}{l}g[i-1][j],f[i-1][j]>f[i-1][j-v_i]+w_i\\ g[i-1][j-v_i],f[i-1][j-v_i]+w_i>f[i-1][j]\\ g[i-1][j]+g[i-1][j-v_i],f[i-1][j]=f[i-1][j-v_i]+w_i\end{array}$$初始条件$g[0][j]=1$，最后要返回的答案是：$g[n][V]$。也可以只开一维数组做空间优化。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int n, m;
int f[N], g[N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i <= m; i++) g[i] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j--) {
    
    
            int maxv = max(f[j], f[j - v] + w);
            int cnt = 0;
            if (maxv == f[j]) cnt += g[j];
            if (maxv == f[j - v] + w) cnt += g[j - v];
            g[j] = cnt % mod;
            f[j] = maxv;
        }
    }

    cout << g[m] << endl;

    return 0;
}

时空复杂度一样。