【ybt金牌导航1-1-8】【luogu P3750】关灯游戏 / 分手是祝愿

关灯游戏 / 分手是祝愿

题目链接：ybt金牌导航1-1-8 / luogu P3750

题目大意

有一些从一到 n 编号灯泡与按钮。按下某个编号的按钮，它所有约数的灯都会由开变关，由关变开。

每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。

但如果某个时候可以按不超过 k 个开关使所有灯灭掉，那么他会直接选操作次数最小的方法操作。

问你操作次数的期望乘 n 的阶乘在 % 100003 下的值。（一定是整数）

思路

这道题，我们会发现这个初始灯泡状态很烦，我们看看怎么搞它。

那我们先看最优怎么按。
（很明显最多要按 $n$ 次，因为同一个点没必要按两次以上）

那因为按这个按钮 $i$，$i$ 号灯泡也会亮起来，那我们可以发现一个东西：每个按键都不可能被其他按键的组合键替代。

那我们就直接从后往前扫一遍，如果碰到要关上的，那就一定按这个按钮，在更改前面的点的亮灭情况。
（因为前面已经确定了按和不按，而且你按更前面的点不管怎么按都无法使这个灯关上）

那我们就知道要按哪些按钮了。

那我们考虑期望 dp。

我们设 $f_i$ 为从还有 $i$ 个要按的变成 $i-1$ 个要按的的期望操作次数。

那首先，按到正确的有 $\frac{i}{n}$ 的几率，就直接走一步，就是 $1\times \frac{i}{n}$。
那按到错的就是 $\frac{n-i}{n}$ 的几率，那你首先要按回来，然后再按一次，那就是 $\frac{n-i}{n}\times (f_{i+1}+f_i+1)$。
（里面的 $1$ 就是花费一步）

那我们可以得到式子：
$f_i=1\times \frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}\times (f_{i+1}+f_i+1)$
然后化简移项：
$f_i=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}\times f_{i+1}+\frac{n-i}{n}\times f_i+\frac{n-i}{n}\times 1$
$f_i-\frac{n-i}{n}\times f_i=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}\times f_{i+1}+\frac{n-i}{n}$
$\frac{i}{n}\times f_i=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}\times f_{i+1}+\frac{n-i}{n}$
$i\times f_i=i+(n-i)\times f_{i+1}+(n-i)$
$f_i=\frac{i+(n-i)\times f_{i+1}+(n-i)}{i}$
$f_i=\frac{(n-i)\times f_{i+1}+n}{i}$

那因为取模的数是一个质数，那我们可以用逆元来处理除法，小数什么就就可以不管（在取模意义下），不过要开 long long。

然后我们看答案是什么。
分两种情况：

1. $k$ 大于等于最少要按的次数，那就直接选最优，输出 $k$ 乘 $n$ 的阶乘。
2. $k$ 大于最少要按的次数（设为 $num$），那就是要从有 $num$ 个要按的变成有 $k$ 个要按的，然后再按照最优的按 $k$ 次。
   那就是 $n!\times (k+\sum _{i=k+1}^{num}{f}_i)$。
   （记得要加上 $k$，就是最后按最优的走也要按 $k$ 次）

然后这题就搞定了。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define mo 100003
#define ll long long

using namespace std;

int n, k, a[100001], np[100001], tmp;
ll f[100005], re, ans;

ll ksm(ll x, ll y) {
    
    //逆元
	re = 1;
	while (y) {
    
    
		if (y & 1) re = (re * x) % mo;
		x = (x * x) % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

void write(ll x) {
    
    //得出答案，然后乘阶乘并输出
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		x = (x * i) % mo;
	printf("%lld", x);
	
	return ;
}

int main() {
    
    
	scanf("%d %d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	
	for (int i = n; i >= 1; i--)//找到要按哪些点奇数次
		if (a[i]) {
    
    //找到了，更改那些会被影响的灯泡
			np[++np[0]] = i;
			tmp = floor(sqrt(i));
			for (int j = 1; j <= tmp; j++)
				if (i % j == 0) {
    
    
					a[j] ^= 1;
					if (i / j != j) a[i / j] ^= 1;
				}
		}
	
	if (np[0] <= k) {
    
    //可以直接走最优
		write((ll)np[0]);
		return 0;
	}
	
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
    
    //期望dp
		f[i] = ((((1ll * (n - i) * f[i + 1]) % mo + 1ll * n) % mo) * ksm(1ll * i, mo - 2ll)) % mo;
	}
	
	ans = 1ll * k;//记得最后还有走 k 步
	for (int i = k + 1; i <= np[0]; i++)
		ans = (ans + f[i]) % mo;
	
	write(ans);
	
	return 0;
}