Codeforces1444 B. Divide and Sum（组合数学）

题意：

数据范围：n<=2e5

解法：

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n|p(i)-q(i)|=\sum _{i=1}^{n}max(p(i),q(i))-min(p(i),q(i)) \\ max(pi,qi)一定是前n大的数,min(q,pi)一定是前n小的数. \\ 如果不是这样: \\ 1.某个max(pi,qi)和min(pi,qi)都是前n大,那么会导致某个max(pj,qj)和min(pj,qj)都是前n小, \\ 这样的匹配在p非递减,q非递增的排序方式下是不存在的. \\ 2.某个max(pi,qi)和min(pi,qi)都是前n小,那么会导致某个max(pj,qj)和min(pj,qj)都是前n大. \\ 这样的匹配在p非递减,q非递增的排序方式下是不存在的. \\ 因此无论怎么排列,f函数的值=前n大-前n小. \\ 总排列数为C(2n,n),乘上f函数的值就是答案. \end{gathered}$$
解释一下为什么不存在：

假设上图中的绿点是两个非法匹配点，假设是两个前n大，
那么根据排序规则，p中的绿点一定在右边，q中的绿点一定在左边，
因为前n大只有n个，所以这两个点一定不会对应上，即不存在这样的匹配。

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxm=1e6+5;
const int mod=998244353;
int fac[maxm],inv[maxm];
int a[maxm];
int n;
int ppow(int a,int b,int mod){
    
    
    int ans=1%mod;a%=mod;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
void init(){
    
    
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxm;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[maxm-1]=ppow(fac[maxm-1],mod-2,mod);
    for(int i=maxm-2;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int n,int m){
    
    
    if(m<0||m>n)return 0;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
signed main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);
    init();
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n*2;i++)cin>>a[i];
    sort(a+1,a+1+n*2);
    int mis=0,mas=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        mis=(mis+a[i])%mod;
    }
    for(int i=n+1;i<=n*2;i++){
    
    
        mas=(mas+a[i])%mod;
    }
    int ans=C(n*2,n)*(mas-mis)%mod;
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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